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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1744
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. März, 2005 - 12:21: | 
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Hi,
hier noch eine Aufgabe an der ich schon länger sitze:
Sei f: IR -> IR gleichmäßig stetig.
Behauptung: Es existieren zwei Zahlen a,b € IR,
so dass für alle x € IR gilt:|f(x)| £ a*|x|+b
Ich habe irgendwie noch keinen Ansatz gefunden, irgendwie die glm Stetigkeit auf IR einzubringen, das ist wohl der Punkt hier. Hm, eine erste Idee wäre b = f(0) zu setzen, aber das geht nicht. Ich denke b muss schonmal größer als f(0) sein, aber irgendwie fehlt mir der aha-Effekt bei dieser Aufgabe.
Habt ihr eine Idee?
mfg |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1770
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. März, 2005 - 17:17: |
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Hallo Ferdi
Dass b größer als f(0) sein muss stimmt, wenn es auch nur beliebig wenig größer sein muss
Da f gleichmäßig stetig ist existiert zu 1 ein d>0 mit |f(x)-f(y)|<1 für |x-y|<d.
Sei nun x aus IR beliebig mit |x|= kd + y und 0 £ y < d. Dann ist schonmal
k £ |x|/d.
Weiter erhält man damit
|f(x)| £ f(0)+(k+1) £ f(0)+|x|/d + 1
=1/d*|x| + (f(0)+1)
MfG
Christian |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1745
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. März, 2005 - 11:27: |
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Hi Christian,
eine gute Idee, ich frage mich nur wie du auf diese Abschätzung dann kommst:
|f(x)|£ f(0)+(k+1)
Und wieso gerade "exisiert zu 1 ein d".
Wenn b gößer sein muss, dann definieren wir einfach:
Sei b > f(0) beliebig und sei e=b-f(0)>0.
Dann finden wir auch zu e ein d mit |f(x)-f(y)|<e falls nur |x-y|<d gilt, oder geht das nicht? Mit deinem Bewies wäre die Existenz von a und b mit a=1/d und b=f(0)+1 gesichert. Aber ich frage halt weil du das einfach so mit der 1 gemacht hast bei der glm Stetigkeit, ist mir so noch nicht begegnet.
mfg |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1305
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. März, 2005 - 15:39: |
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Hi Ferdi,
deine Fragen an Christian kann ich dir auch nicht beantworten, aber mich würde mal interessieren ob die Funktion wirklich von ganz IR ausgeht, und nicht nur zum Beispiel auf einer beschränkten Teilmenge...
kann das sein?
Gruß N. |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1773
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. März, 2005 - 15:47: |
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Hi Ferdi
Und wieso gerade "exisiert zu 1 ein d"
Die 1 hatte ich genommen, weil sich damit die Ausdrücke etwas vereinfachen. Du kannst auch e nehmen.
eine gute Idee, ich frage mich nur wie du auf diese Abschätzung dann kommst:
|f(x)|£ f(0)+(k+1)
Wir fangen einfach mal bei dem Wert f(0) an. Jetzt gehen wir ein "d" weiter nach rechts, dort ist wegen der gleichmäßigen Stetigkeit der Funktionswert höchstens f(0)+e. Gehen wir noch ein d nach rechts, so ist der Funktionswert dort höchstens (f(0)+e)+e usw.
Das ganze funktioniert nur bei gleichmäßiger Stetigkeit, normale Stetigkeit reicht hier nicht aus.
Allgemein erhältst du also |f(x)|£f(0)+(k+1)e
Dann gehen die Abschätzungen genauso weiter. Hier ist es natürlich schön e=1 zu nehmen, weil dann die Terme recht einfach werden.
Mir fällt gerade auf, dass der Beweis so nur für f(0)³0 gilt. Ist allerdings nicht weiter schlimm, für f(0)<0 kann man analog vorgehen.
MfG
Christian |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1746
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. März, 2005 - 16:05: |
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Hi,
danke Christian. Ich hatte auch schon daran gedacht b > |f(0)| zu setzen und dann e=b-|f(0)| > 0.
Dann hätte wir a = e/d und b > |f(0)|, also wäre auch damit die Aussage bewiesen.
Naja das mit der 1 ist dann nur Schönheitskosmetik 
@Niels: Ich glaube nicht das es eine Beschränkung gab. Habe den genauen Wortlaut nicht mehr im Kopf, mir kam beim durcharbeiten meiner Sachen nur die Aufgabe wieder in den Kopf, und der Witz bestand darin das f auf ganz IR glm stetig ist... falls ich die Original Aufgabe noch mal finde kann ich sie evtl hier posten!
mfg |
Niels2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. März, 2005 - 16:14: |
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Dann frage ich mich auch wie ferdi,
"Was lernt uns das??"
ach so....
ich glaube da etwas gesehen zu haben... |
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