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Sabine_weller (Sabine_weller)
Neues Mitglied
Benutzername: Sabine_weller
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 12-2004
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Januar, 2005 - 06:59: | 
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Hallo,
Ich habe ein Problem bei folgenden Grenzwerten.
a) lim x-->0 ((x+3)^2 -9)/x
b) lim x-->1 (1/(1-x) - 3/(1-x^3))
c) lim x-->0 ((1+x)^1/2 -1)/x
Leider sollen wir alle Grenzwerte ohne L'Hospitalsche (oder so ähnlich ;) ) lösen, da wir die in der Vorlesung noch nicht durch genommen hatten.
Kann mir jemannd helfen?
Gruß
Sabine |
Sabine_weller (Sabine_weller)
Neues Mitglied
Benutzername: Sabine_weller
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 12-2004
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Januar, 2005 - 07:37: |
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Hallo noch mal,
a) und c) hab ich doch hinbekommen. War gar nicht so schwer.
aber bei b) weiß ich immer noch nicht wie ich das machen soll.
außerdem habe ich dann noch eine Aufgabe.
lim x-->1 (x^n -1)/(x - 1) n elm. der Natürlichen Zahlen
Danke schon mal |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2569
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Januar, 2005 - 09:19: |
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b) bring es auf einen Nenner, dann L'Hospital
Extraaufgabe:
(x^n - 1) : (x - 1) = x^(n-1) + x^(n-2) + ... x + 1
(veralgemeinerte Polynomdivision;
du kannst es Überprüfen indem Du auf die rechte Seite die Formel für die Summe der geometrischen
Reihe anwendest.)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Sabine_weller (Sabine_weller)
Junior Mitglied
Benutzername: Sabine_weller
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 12-2004
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Januar, 2005 - 09:56: |
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Danke erstmal
Kann man b) auch ohne L'Hospital lösen? Den dürfen wir nicht verwenden
Gruß Sabine |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2570
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Januar, 2005 - 10:26: |
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ja
1-x³ = (1-x)(1+x+x²)
und x²+x-2 = (x-1)(x+2)
(Beitrag nachträglich am 10., Januar. 2005 von friedrichlaher editiert)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Sabine_weller (Sabine_weller)
Junior Mitglied
Benutzername: Sabine_weller
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 12-2004
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Januar, 2005 - 11:36: |
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Hallo,
danke erstmal für die schnelle Hilfe und sorry für das späte Dankeschön. Ich habe noch ein paar Grenzwerte die ich ohne Benutzung von L'Hospital ausrechnen soll:
a) lim x->1 2^(1/(x-1))
x<1
b) lim x->0 x^x
x>0
c) lim x->0(1 + tan(x))^cot(x)
x>0
kann mir jemand helfen?
Gruß Sabine |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2584
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Januar, 2005 - 12:12: |
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a) = limd -> +021/(1-d-1)
21/(1-d-1 = 1/2^d, der lim also wohl 1
b) muß ich ganz passen
c) würde ich umformen zu
(1 + 1/cotx)^cotx das sich wohl e nähert
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1712
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Januar, 2005 - 12:48: |
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Hallo Sabine
Zu b):
Der Logarithmus wächst langsamer als jede Potenz von x. Es gilt insbesondere also lim(x->¥) log(x)/x =0.
Also mit x>0: lim(x->0) log(1/x)/(1/x)=0
Umgeformt nach nach Logarithmusregeln gilt
log(1/x)/(1/x)=x*(-log(x))=-log(x^x).
Also lim(x->0) -log(x^x)= 0
Damit muss wegen Stetigkeit und Monotonie des Logarithmus aber auch lim(x->0) x^x = 1 gelten.
MfG
Christian |
