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Sekuma (Sekuma)
Mitglied
Benutzername: Sekuma
Nummer des Beitrags: 28
Registriert: 05-2004
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Januar, 2005 - 13:23: | 
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Mal wieder eine sehr gelungene aber für mich unverständliche Aufgabe
Seien m,n beliebige natürliche Zahlen und p>2 eine Primzahl. Beweisen Sie, dass m^p-n^p zu p teilerfremd ist oder durch p^2 teilbar ist. |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 948
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Januar, 2005 - 14:36: |
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Sekuma,
Angenommen, mp - np ist n i c h t zu p
teilerfremd, d.h. also p | mp - np. Nun gilt nach
dem kleinen Fermat'schen Satz :
mp == m und np == n (mod p)
(== steht für "kongruent "). Also
mp - np == m-n (mod p)
Nach Annahme ist somit m-n durch p teilbar, d.h.
m == n (mod p)
Weiter ist
mp - np =(m-n)* Sp-1 k=0 mk np-1-k
Jeder Summand des 2. Faktors ist
== mk*mp-1-k = mp-1 == 1 (mod p),
wieder nach dem kleinen Fermat. Die fragliche Summe
hat p Summanden, und jeder ist ==1 (mod p), also
ist sie selbst durch p teilbar. Daher ist mp - np
durch p2 teilbar.
mfG Orion
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