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Dreaminggirl (Dreaminggirl)
Mitglied
Benutzername: Dreaminggirl
Nummer des Beitrags: 40
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Januar, 2005 - 09:24: | 
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Hallo,
kann mir jemand helfen? mir fehlt irgendwie der passende schritt um folgendes zu beweisen:
log(1+x) = x+o(IxI) Anmerkung IxI= Betrag von x
DANKE |
Dreaminggirl (Dreaminggirl)
Mitglied
Benutzername: Dreaminggirl
Nummer des Beitrags: 41
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Januar, 2005 - 09:28: |
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Bedingung x>0 |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 946
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Januar, 2005 - 10:51: |
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Hallo,
Vorschlag:Bekanntlich gilt
(u-1)/u < ln u < u-1 ; u > 0 , u ‡ 1
(Hinweis: Flächenbilanz am Graphen von
u®1/u)). Mit u=1+x folgt
0 < x - ln(1+x) < x2/(1+x).
mfG Orion
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 947
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Januar, 2005 - 16:15: |
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Variante:
Wir zeigen, dass
0 < x - ln(1+x) < x2 ; x>0.
Linke Seite : Betrachte f(x) := x - ln(1+x) ; 0 £ x.
Dann ist f(0) = 0 und für x>0 :f'(x) = 1 - 1/(1+x)>0 => f(x) > 0.
Rechte Seite : g(x) := x - ln(1+x) - x2 => g(0) = 0 ,
g'(x) = - x(1+2x)/(1+x) < 0 => g(x) < 0.
mfG Orion
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