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Joy04 (Joy04)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Joy04
Nummer des Beitrags: 52
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Dezember, 2004 - 16:34: | 
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Ich hab folgende Funktion:
f(x,y)= x*y* (x²-y²)/(x²+y²) falls f(x,y) ungleich (0,0) und 0 falls f(x,y)=(0,0)!
wir sollen sagen, ob die Vertauschbarkeit der zweiten partiellen ableitung an der stelle (0,0) gegeben ist!
Ich hab nun beide zweiten partiellen ableitungen berechnet und die stimmen auch überein, heißt das nun das die Vertauschbarkeit gegeben ist? eigentlich ja schon oder?
das mit der Stelle (0,0) verwirrt mich irgendwie ein bißchen! Vielleicht muß man auch mit der stetigkeit was zeigen! also das die zweiten ableitungen stetig sind in (0,0)? |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1779
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Dezember, 2004 - 09:37: |
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Wenn die beiden Werte übereinstimmen, dann sind sie in diesem Fall vertauschbar.
Allerdings haben es solche Aufgaben meistens an sich, dass ein Aha-Effekt erzielt werden soll.
Bist du also sicher, dass du dich nicht verrechnet hast?
Z. |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4707
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Dezember, 2004 - 12:01: |
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Hi
Die Absicht des Aufgabenstellers könnte darin bestehen, dass der Satz
von Herrmann Amandus Schwarz (1843 -1921),
angewendet werden soll.
Der Satz bezieht sich auf die Gleichheit der beiden gemischt
partiellen Ableitungen zweiter Ordnung f nach x,y und f nach y,x
(diese Reihenfolgen der partiellen Ableitungen)
einer Funktion f (x, y) zweier Variablen.
Die Übereinstimmung dieser Ableitungen
für das Wertepaar (xo,yo)
ist an gewisse Voraussetzungen daselbst gebunden.
Zum Hausgebrauch:
f(x,y) ist in (xo,yo) definiert und besitzt
dort stetige Ableitungen erster und zweiter Ordnung.
Es darf auch ein wenig weniger an Voraussetzungen sein;
dies ist beispielsweise nachzulesen im zweiten Band des Standardwerks
Höhere Mathematik von v.Mangoldt / Knopp.
Ich nehme daher an:
Die Aufgabe sei so zu lösen, dass die Stetigkeit der
Ableitungen nachgewiesen wird, und das ist wieder eine
andere Geschichte.
Zur Information siehe auch:
http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Schwarz
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Joy04 (Joy04)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Joy04
Nummer des Beitrags: 54
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Dezember, 2004 - 13:23: |
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ich frag mich nur gerade ob ich dann die funktion f(x,y)= x*y* (x²-y²)/(x²+y²) zweimal partiell ableiten soll, obwohl ich die stelle (0,0) betrachte!könnte ich nicht auch die funktion direkt an der stelle o ableiten? ich weiß nicht ob ihr meine frage versteht?
ich hab jetzt x*y* (x²-y²)/(x²+y²) zweimal partiell abgeleitet!und die ableitungen verglichen!ist das komplett falsch? |
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