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Gleichmäßig stetig (Beweis)

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Himbeersenf (Himbeersenf)
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Junior Mitglied
Benutzername: Himbeersenf

Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 06-2004
Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Dezember, 2004 - 23:49:   Beitrag drucken

Vor.: Sei f:[a,b]->R eine Funktion, a,b Element R.
Beh.: f ist stetig => f ist gleichmäßig stetig.

Beweis durch Widerspruch

Angenommen, f sei nicht gleichäßig stetig.
d.h es gibt ein epsilon{\-0}, zu dem es kein delta gibt s.d. Betrag(x-y)<delta => Betrag(f(x)-f(y))>= epsilon{\-0}.

Dann gilt dies insbesonders für delta = 1/n, n Element N, d.h.
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Himbeersenf (Himbeersenf)
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Junior Mitglied
Benutzername: Himbeersenf

Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 06-2004
Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Dezember, 2004 - 00:06:   Beitrag drucken

Zu jedem n existiert ein Paar x{\-n} , y{\-n} aus [a,b] s.d. Betrag(x{\-n} - y{\-n}) und Betrag(f(x{\-n}) - f(y{\-n})) >= {\-0}

Da die Folgen x{\-n} , y{\-n} Teilmengen von [a,b] sind, sind sie Beschränkt und haben noch dem Satz von Bolzano-Weierstraß je einen Häufungspunkt.

Sei c der HP von x{\-n} , dann existiert eine Teilfolge x{\-n} {\-k} , die gegen c konvergiert.

Soweit mein Verständnis von Königsberger, Analysis I, S. 91 :-)

Königsberger fährt dann fort: "Wegen Betrag(x{\-n} - y{\-n}) < 1/n konvergiert dann auch y{\-n} gegen c."
-- Anschaulich klar, aber wie beweise ich das?--
"Damit folgt lim f(x{\-nk}) = f(c) = lim f(y{\-n}) im Widerspruch zu Betrag(f(x{\-n}) - f(y{\-n})) >= epsilon{\-0} für

alle n."

Hab jetzt ne Stunde gebraucht, um den ersten Teil zu verstehen, war super, wenn mir jemand beim letzten Stück auf die

Sprüunge helfen könnte.

Gruß,
Julia
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Himbeersenf (Himbeersenf)
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Junior Mitglied
Benutzername: Himbeersenf

Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 06-2004
Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Dezember, 2004 - 00:08:   Beitrag drucken

Da ist was schiefgelaufen mit der Formatierung... {\-n} soll einfach ein tiefgestelltes n sein.

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