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Himbeersenf (Himbeersenf)
Junior Mitglied Benutzername: Himbeersenf
Nummer des Beitrags: 14 Registriert: 06-2004
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Dezember, 2004 - 23:49: |
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Vor.: Sei f:[a,b]->R eine Funktion, a,b Element R. Beh.: f ist stetig => f ist gleichmäßig stetig. Beweis durch Widerspruch Angenommen, f sei nicht gleichäßig stetig. d.h es gibt ein epsilon{\-0}, zu dem es kein delta gibt s.d. Betrag(x-y)<delta => Betrag(f(x)-f(y))>= epsilon{\-0}. Dann gilt dies insbesonders für delta = 1/n, n Element N, d.h. |
Himbeersenf (Himbeersenf)
Junior Mitglied Benutzername: Himbeersenf
Nummer des Beitrags: 15 Registriert: 06-2004
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Dezember, 2004 - 00:06: |
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Zu jedem n existiert ein Paar x{\-n} , y{\-n} aus [a,b] s.d. Betrag(x{\-n} - y{\-n}) und Betrag(f(x{\-n}) - f(y{\-n})) >= {\-0} Da die Folgen x{\-n} , y{\-n} Teilmengen von [a,b] sind, sind sie Beschränkt und haben noch dem Satz von Bolzano-Weierstraß je einen Häufungspunkt. Sei c der HP von x{\-n} , dann existiert eine Teilfolge x{\-n} {\-k} , die gegen c konvergiert. Soweit mein Verständnis von Königsberger, Analysis I, S. 91 Königsberger fährt dann fort: "Wegen Betrag(x{\-n} - y{\-n}) < 1/n konvergiert dann auch y{\-n} gegen c." -- Anschaulich klar, aber wie beweise ich das?-- "Damit folgt lim f(x{\-nk}) = f(c) = lim f(y{\-n}) im Widerspruch zu Betrag(f(x{\-n}) - f(y{\-n})) >= epsilon{\-0} für alle n." Hab jetzt ne Stunde gebraucht, um den ersten Teil zu verstehen, war super, wenn mir jemand beim letzten Stück auf die Sprüunge helfen könnte. Gruß, Julia |
Himbeersenf (Himbeersenf)
Junior Mitglied Benutzername: Himbeersenf
Nummer des Beitrags: 16 Registriert: 06-2004
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Dezember, 2004 - 00:08: |
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Da ist was schiefgelaufen mit der Formatierung... {\-n} soll einfach ein tiefgestelltes n sein. |
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