Autor |
Beitrag |
Sekuma (Sekuma)
Mitglied Benutzername: Sekuma
Nummer des Beitrags: 25 Registriert: 05-2004
| Veröffentlicht am Samstag, den 18. Dezember, 2004 - 13:23: |
|
Hallo brauche mal wieder eure Hilfe. Seien a, b,c von Null verschiedene natürliche Zahlen mit a^2+b^2=c^2. Beweisen sie, dass 12 das Produkt ab und 60 das Produkt abc teilt. Vielen Dank |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1051 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 18. Dezember, 2004 - 13:34: |
|
a = 3q b = 4q c = 5q mit q aus IN ausnahme: a = 5q b = 12q c = 13q hier: 60 | ab, damit gilt auch 60 | abc falls nicht gilt: 5 | ab, dann muß gelten 5 | c (Beitrag nachträglich am 18., Dezember. 2004 von mainziman editiert) Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
|
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1052 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 18. Dezember, 2004 - 15:14: |
|
daß ab zumindest durch 2 teilbar sein muß, kann man durch folgendes zeigen angenommen dies ist nicht der Fall, dann sind a und b ungerade (2m+1)^2 + (2n+1)^2 = 4m^2 + 4n^2 + 4m + 4n + 2 die rechte Seite ist nicht durch 4 teilbar, somit auch nicht Quadrat einer nat. Zahl ab soll durch 4 teilbar sein, d.h. für a, b gerade ist das gegeben, also kanns nur für a ungerade und b gerade oder umgekehrt anders sein; (2m+1)^2 + (2n)^2 = 4m^2 + 4m + 1 + 4n^2 zu zeigen: 4m^2 + 4m + 1 + 4n^2 ist nur dann quadratisch für m, n nat. wenn n gerade ist; Quadratzahlen haben bei Division durch 4 entweder Rest 1 oder 0, nie die Reste 2 oder 3 bei Division durch 16 haben Quadratzahlen die Reste: 0, 1, 4, 9 für gerade m hat 4m^2 + 4m + 1 + 4n^2 nur dann den entsprechenden Divisionsrest Modulo 16, wenn n gerade ist; für ungerade m: 4(2k+1)^2 + 4(2k+1) + 1 + 4n^2 = 16k^2 + 8k + 4 + 8k + 4 + 1 + 4n^2 = 16(k^2+k) + 9 + 4n^2 mit m = 2k+1 4m^2 + 4m + 1 + 4n^2 hat hier ebenfalls nur dann den entsprechenden Divisionsrest Modulo 16, wenn n gerade ist; sobald n gerade ist, ist ab durch 4 teilbar; Teilbarkeit durch 3 a^2 + b^2 = c^2 angenommen weder a noch b ist durch 3 teilbar: (3m+/-1)^2 + (3n+/-)^2 = 9m^2 +/- 6m + 1 + 9n^2 +/- 6n + 1 = 9m^2 + 9n^2 +/- 6m +/- 6n + 2 = 3( 3m^2 + 3n^2 +/- 2m +/- 2n ) + 2 Quadratzahlen haben bei Division durch 3 nie Rest 2! daher ist auch 3 ein Teiler von ab Teilbarkeit durch 5 a^2 + b^2 = c^2 angenommen weder a, b, c sind durch 5 teilbar Fall 1 (5m+/-1)^2 + (5n+/-1)^2 = 25m^2 + 25n^2 +/- 10m +/- 10n + 1 + 1 auch hier, keine Quadratzahl hat Rest 2 bei Div. durch 5! Fall 2 (5m+/-1)^2 + (5n+/-2)^2 = 25m^2 + 25n^2 +/- 10m +/- 20n + 1 + 4 = 5( 5m^2 + 5n^2 +/- 2m +/- 4n + 1) zu zeigen, der Klammerausdruck ist nicht durch 5 teilbar ... 5m^2 + 5n^2 +/- 2m +/- 4n + 1 == 0 (mod 5) +/- 2m +/- 4n + 1 == 0 (mod 5) m = 0, n = 0 -> f. A. m = 1, n = 0 -> f. A. m = 2, n = 0 -> f. A. für c nicht durch 5 teilbar => 5 teilt c m = 3, n = 0 -> f. A. m = 4, n = 0 -> analog m = 2 ... Fall 3 (5m+/-2)^2 + (5n+/-2)^2 = 25m^2 + 25n^2 +/- 20m +/- 20n + 4 + 4 auch hier, keine Quadratzahl hat Rest 3 bei Div. durch 5! Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
|
|