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Bestimmen von Idealen

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Michel (Michel)
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Junior Mitglied
Benutzername: Michel

Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 05-2000
Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Dezember, 2004 - 15:47:   Beitrag drucken

Hallo zusammen,

Ich habe da eine Aufgabe, wo ich echt nicht weiterkomme. Ich scheitere höchstwahrscheinlich schon mit der Definition der Ideale. Könnte mir jemand diese Aufgabe ansatzweise lösen. Vorallem wie findet man die Restklassenringe ?


Bestimme die Ideale (5) und (sqrt(5)) in Z[sqrt(5)] sowie die zugehörigen Restklassenringe.

Wäre echt dankbar für einen Lösungsansatz.

Merci jedenfalls schon mal

michel
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Zaph (Zaph)
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Senior Mitglied
Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1777
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Dezember, 2004 - 23:27:   Beitrag drucken

Hi michel,

Allgemein gilt doch
(x) = {xy | y aus Z[sqrt{5}]}

Außerdem ist
Z[sqrt{5}] = {a + b*sqrt(5) | a, b aus Z}

Also
(5) = {5a + 5*sqrt(5)*b | a,b aus Z}
(sqrt(5)) = {sqrt(5)*a + 5b | a,b aus Z}

Viel mehr kannst du hier wohl nicht vereinfachen.

Um die Restklassenringe zu charakterisieren, würde ich nun ein Representantensystem der Restklassen suchen.

Bei (5) ist das
{a + sqrt(5)*b | 0 <= a,b < 5}
und bei (sqrt(5))
{a | 0 <= a < 5}

Womit dann folgt
Z[sqrt(5)]/(5) ~ Z_25
Z[sqrt(5)]/(sqrt(5)) ~ Z_5

(~ = isomorph)

(Beitrag nachträglich am 17., Dezember. 2004 von Zaph editiert)
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Michel (Michel)
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Junior Mitglied
Benutzername: Michel

Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 05-2000
Veröffentlicht am Freitag, den 17. Dezember, 2004 - 16:16:   Beitrag drucken

Hi Zaph

Danke, jetzt ist es auch mir klar :-)

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