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Beweis Untervektorraum?

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Merci (Merci)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Merci

Nummer des Beitrags: 117
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Dezember, 2004 - 20:09:   Beitrag drucken

Hallo,

ich habe eine Aufgabe die lautet:

Let V be a vector space over K and U1, U2 c V two subspaces ("subspace"="Untervektorraum").
Prove the following statement: If U1 u U2 is a subspace, then U1 c U2 or U2 c U1.

Habe bisher folgendes:

Mit dem !c meine ich,dass NICHT gilt U1 c U2

Das kann ich mit einem Widerspruchsbeweis machen ?
Wenn ich davon ausgehe, dass U1 !c U2 und folgere
daraus, dass U2 c U1.

1.U1 u U2 ist als Untervektorraum vorgegeben.
Es ist u1 E U1 u U2 und u2 E U1 u U2.
Wegen der Abgeschlossenheit bezüglich + (eines der
drei Untervektorraumaxiome) ist dann u1 + u2 E U1 u U2

2.Aber u1+u2 nicht Element U2, also ist
u1+u2 E U1

3.Daraus kann ich folgern, dass u2 E U1.
Und damit gilt, dass U2 c U1

Ist das ok?

Danke euch nochmal!!
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1669
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Dezember, 2004 - 20:50:   Beitrag drucken

Hallo

Ich würde sagen dein Beweis ist fast richtig :-)

Ansatz ist ok. Dann solltest du den ersten Schritt allerdings etwas anders machen. Der zweite stimmt nämlich meiner Meinung nach so nicht. Ist u1+u2 € U1 u U2, so folgt daraus nicht, dass u1+u2 nicht in U2 liegen kann. Wähle zum Beispiel einfach u1, u2 aus U2, dann liegt u1+u2 auf jeden Fall in U2.

Wir machen daher den ersten Schritt etwas anders.

1. Wir wissen, dass U1 !c U2. Es folgt, dass ein u1 in U1 existiert, welches nicht in U2 liegt. Sei nun u2 ein beliebiges Element aus U2.

2. Es gilt dann u1+u2 E U1 u U2. Es gilt aber u1+u2 nicht Element U2, denn sonst wäre auch u1 in U2. Also u1+u2 E U1.

3. Das passt jetzt wieder. Also einfach deinen letzten Beweisschritt nehmen.

Entscheidend ist halt nur, dass dein Vektor u1 nicht in U2 liegen darf. Und nach Voraussetzung existiert auch ein solcher Vektor.

MfG
Christian

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