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Jaypi (Jaypi)
Neues Mitglied
Benutzername: Jaypi
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 12-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Dezember, 2004 - 15:52: | 
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Hallo erstmal!
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht wirklich voran und hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann.
Seien V und W normierte Vektorräume über IR mit Normen ||||_v bzw. ||||_w. Zeige, dass für lineare Abbildungen L:V->W die folgenden Aussagen äquivalent sind:
a)L ist stetig
b)L ist stetig in 0
c)Ex.c € IR für alle x € V : ||L(x)||_w<=c*||x||_v.
Lieben Gruß,
Jay-Pi |
Jaypi (Jaypi)
Neues Mitglied
Benutzername: Jaypi
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 12-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Dezember, 2004 - 19:53: |
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Also ich hab da jetzt nochmal nachgedacht...
a)=>b) ist trivial, denn wenn L stetig ist, ist L wohl auch in 0 stetig... Reicht das als Beweis?
aber bei b)=>c) und c)=>a) fällt mir nix ein... |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 497
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Dezember, 2004 - 22:36: |
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Hi Jay-Pi,
wenn man von der Linearität von L die Additivität ausnutzt reicht es die Stelle 0 zu betrachten, also sind a und b äquivalent. Da man weiter Skalare rausziehen kann reicht es die Beschränktheit auf dem Bild der Kugel vom Radius 1 zu betrachten: Ist die w-Norm darauf beschränkt, dann finde ich mein c, ansonsten finde ich eine Folge von x deren Bildnormen gegen oo geht und L ist nicht stetig in 0.
sotux |
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