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Zeraphine (Zeraphine)
Neues Mitglied
Benutzername: Zeraphine
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 10-2004
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Dezember, 2004 - 20:33: | 
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Ich bins mal wieder.. und muss erstmal sagen, dass ich ohne Eure Hilfe total aufgeschmissen wäre und das meine ich echt ernst. Ganz ganz liebe Danke =)
Hier mal wieder meine Problemfälle...
Aufgabe 1)
Seien a > 1, b>1, k>1 und m>1 natürliche Zahlen, für die a^k = b^m (a hoch k und b hoch m)
und ggT(k,m)=1 gilt.
Beweise das eine natürliche Zahl n existiert, so dass a= n^m und b=n^k gilt
Aufgabe 2)
Beweise dass für alle von Null verschiedene natürlichen Zahlen n die Gleichung
ggT(n!+1(n+1)!+1)=1 gilt.
Liebe Grüße
Zera |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 488
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Dezember, 2004 - 23:13: |
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Hi Zera,
zu 1: Schau dir mal die Primzahlzerlegung von a^k=b^m an und mach dir klar welche Teilbarkeitsaussage über die dortigen Exponenten in der Gleichung steckt, dann hast du sofort dein n.
zu 2: Wie wärs mit einem Widerspruchsbeweis: Gäbe es a,b,c (alle >1) mit n!+1=a*b und (n+1)!+1=a*c, dann dürfte einerseits a keinen Teiler in {2,3,...,n} haben (die sind ja schon in n! drin), andererseits müsste aber auch gelten n*n!=a*(c-b) und dann muss a einen Teiler in {2,3,...,n} haben.
sotux |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 489
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Dezember, 2004 - 23:18: |
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P.S.
noch zu 1: ggT(k,m)=1 bedeutet, dass wenn eine Zahl von k und von m geteilt wird, dann auch von m*k !
sotux |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2535
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. Dezember, 2004 - 08:04: |
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zu1) bin etwas verwirrt:
genügt es nicht, in a^k = b^m
für
a eben n^m und für b n^k einzusetzen
also
(n^m)^k = (n^k)^m
n^(m*k) = n^(k*m) ???
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 491
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. Dezember, 2004 - 21:59: |
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Hi Friedrich,
es sollte ja gerade die Existenz eines solchen n gezeigt werden. In den Voraussetzungen wird kein n gefordert. Wenn man für a und b eine solche Darstellung hat, ist die Aussage in der Tat einfach zu sehen, d.h. die Existenz von n ist hinreichend. Sie ist aber auch notwendig, und um das einzusehen sollte man sich die Primzahlzerlegung ansehen. Wegen der Gleichung müssen darin alle Exponenten sowohl durch k als auch durch m teilbar sein, und folglich (wegen ggt=1) auch durch m*k. Die Primfaktoren mit den Faktoren dazu sind dann gerade das passende n.
sotux |
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