Konvergenz der Folge a(k)...........

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Autor Beitrag   Sarah Unregistrierter Gast Veröffentlicht am Sonntag, den 28. November, 2004 - 14:38:    Also es geht um die Folge a(k) (k ist element der natürlichen zahlen) dies ist eine konvergente Folge mit a=lim(k gegen unendlich) a(k). Für n Element von den natürlichen Zahlen sei s(n)= 1/(n+1)*Summe von k=o bis n ) a(k) Und jetzt soll man zeigen dass (s(n))nelement von N konvergiert und a= lim(n gegen unendlich)s(n) Hoffe jemand kann mir helfen und alles was in den Klammern steht ist meistens tiefgestellt bis auf ein zwei ausnahmen Danke und schönes we   Orion (Orion) Senior Mitglied Benutzername: Orion Nummer des Beitrags: 921 Registriert: 11-2001 Veröffentlicht am Sonntag, den 28. November, 2004 - 16:57:    Sarah, Du musst zeigen: Zu jedem e>0 gibt es einen Index N, sodass |s(n) - a| < e für alle n > N. Rechne nach, dass s(n) - a = [a0-a)+(a1-a) + ... + (an-a)]/(n+1) Zur Abkürzung sei |ak-a| =: bk gesetzt. Dann ist (Dreiecksungleichung !) |s(n)-a| £ (b0+...+bn)/(n+1). Nach Voraussetzung gibt es zu e > 0 ein m, sodass für alle n > m : bn < e/2. Für diese n ist also |s(n)-a| < (b0+...+bm)/(n+1) + (n-m)*(e/2)/(n+1) < (b0+...+bm)/(n+1) + e/2. Beachte, dass m, und damit die Zahl B := b0+...+bm nur von e, nicht von n abhängt. Wir haben also |s(n)-a| < B/(n+1) + e/2 für alle n > m. Weil <1/(n+1)> eine Nullfolge ist, so gibt es ein M, sodass B/(n+1) < e/2 für alle n > M. Insgesamt gilt somit für alle n > N:= max(m,M) : |s(n)-a| < e/2 + e/2 = e Q.E.D. mfG Orion

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