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Arzoo (Arzoo)
Mitglied
Benutzername: Arzoo
Nummer des Beitrags: 27
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. November, 2004 - 20:40: | 
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ICh kann mit dieser Aufgabe gar nichts anfrangen könnt ihr mir vileicht mal helfen ...danke
Benutzen Sie die Approximation der Binomial-durch
die Normalverteilung, um die Wahrscheinlichkeit abzuschätzen, dass bei 6000 Würfen
eines fairen Würfels die 6 mindestens 1100 Mal fällt. |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 478
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. November, 2004 - 22:12: |
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Hi,
Die Anzahl X der 6en in 6000 Würfen ist verteilt mit Binomial(1/6,6000). Für die Approximation mit der Normalverteilung reicht der Erwartungswert mü=np=1000 wie bei Poisson nicht, du musst auch die Varianz sigma^2=np(1-p)=5000/6 haben, dann ist x also ungefähr mit Normal(mü,sigma) verteilt.Da nur die Standard-Normalverteilung tabelliert ist, musst du die 1100 noch normieren, also mit beta=(1100-mü+0.5)/sigma in die Tabelle gehen. |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4622
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. November, 2004 - 08:23: |
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Hi Arzoo
Sotux hat alles trefflich vorbereitet und sogar mit dem
Summand 0,5 die Stetigkeitskorrektur berücksichtigt.
Vielen Dank an Sotux!
Zu Instruktionszwecken soll die ganze Rechnung
durchgeführt werden mit allem drum und dran.
allerdings ohne Stetigkeitskorrektur.
Bemerkung a priori:
die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist kleiner als
1 Promille!
Die Aufgabe enthält noch eine Hürde; gemeint ist die
Bedingung, dass die Sechs MINDESTENS 1100-mal fällt.
Das Wort „mindestens“ bedeutet in diesem Zusammenhang:
die Sechs muss 1100 oder mehr als 1100-mal fallen
Die entsprechende Wahrscheinlichkeit, für die wir uns alle
brennend interessieren, soll mit P bezeichnet werden.
Wir berechen zunächst die Gegenwahrscheinlichkeit Q zu P,
sodass P = 1 – Q gilt.
Berechnung von Q:
Erwartungswert mü = n p = 6000 * 1/6 = 1000
(sigma)^2 = n p q = 6000 *1/6*5/6 = 2500 / 3
sigma = 100 / 6 * sqrt(3)
Nach der Formel von Laplace und de Moivre kommt:
Q (X<=1100) =
PHI [(1100 – mü) / sigma] = PHI [100/sigma] =
PHI [2*sqrt(3) ] = PHI (3,464)
Aus einer PHI-Tabelle entnehmen wir die
Wahrscheinlichkeit
Q ~ 0,9997.
Daraus
P ~ 0.0003
°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4623
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. November, 2004 - 10:16: |
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Hi Arzoo
Hierher passt auch eine Aufgabe, die vor Kurzem
in diesem Forum gestellt und beantwortet und deren
Auflösung,wie üblich,nicht verdankt wurde.
Die Frage lautete:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit,
dass bei n Würfen eines fairen Würfels die
Anzahl der Sechsen zwischen n/6-sqr(n) und
n/6+sqr(n)liegt..
Meine Antwort lautete:
Wir berechnen den Erwartungswert E.
die Varianz V
und die Standardabweichung sigma:
E = n*p = n * 1/6
V = n * p * (1 – p) = n * 1/6 * 5/6
sigma = sqrt ( V ) = sqrt(5) / 6 * sqrt (n)
Gesucht wird die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass bei n Würfen eines fairen Würfels die
Anzahl der Sechsen im angegebenen Intervall
liegt.
Nach Laplace und de Moivre erhalten wir für P:
P = PHI [(k1 – E)/ sigma] - PHI [(k2 – E)/ sigma]
k1 ist die obere Grenze des Intervalls, also
k1 = n/6+sqrt(n)
k2 ist die untere Grenze des Intervalls, also
k2 = n/6-sqrt(n)
PHI ist die Funktion der (summierten)
Gauss - Verteilung, deren Werte in Tabellen
zu finden sind.
Wir erhalten gemäß Vorbereitung:
P = PHI [6/sqrt(5)] – PHI [ - 6/sqrt(5)].
Wegen PHI (-z ) = 1 – PHI (z) kommt:
P = 2 * PHI [6/sqrt(5)] – 1 = 2 * PHI (2,683) -1
Nach Tabelle:
P = 2*0,9963 -1 = 0,9926.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4624
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. November, 2004 - 10:49: |
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Hi Arzoo
Ein Nachtrag:
"Do not worry about your difficulties in mathematics;
I can assure you that mine are still greater."
(Albert Einstein)
mfG
H.R.Moser,megamath |
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