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Zeraphine (Zeraphine)

Neues Mitglied Benutzername: Zeraphine
Nummer des Beitrags: 3 Registriert: 10-2004
| Veröffentlicht am Sonntag, den 14. November, 2004 - 11:04: |
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Mal wieder eine Aufgabe wo ich nicht so recht weiter weiß... (a) Bestimmen Sie alle Primzahlen p, für welche 4p+1 eine Quadratzahl ist. (b) Bestimmen Sie alle Primzahlen p, für welche 2p+1 eine Kubigzahl ist. Wenn ich es nur einsetzen würde, dann würd ich mir ja nen Wolf rechnen oder ?! Es gibt ja nicht nur 10 Primzahlen.... *hilflosguck |
   
Christian_s (Christian_s)

Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1628 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 14. November, 2004 - 12:04: |
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Hallo Zeraphine Wenn ich es nur einsetzen würde, dann würd ich mir ja nen Wolf rechnen oder ?! Ja, das wird schwierig bei unendlich vielen Primzahlen (a) Offenbar ist 4p+1 für p=2 eine Quadratzahl. Das ist auch die einzige Lösung! Angenommen 4p+1 wäre eine Quadratzahl. 4p+1 ist ungerade, also kann 4p+1 nur das Quadrat einer ungeraden Zahl sein. Sei diese ungerade Zahl 2n+1 mit n aus IN. Dann folgt 4p+1=(2n+1)2 =>4p+1=4n2+4n+1 =>p=n(n+1) Jede Primzahl p>2 ist ungerade. Und die rechte Seite ist gerade für alle natürlichen Zahlen n. Also hat die Gleichung für p>2 keine Lösung. (b) 2p+1 ist immer ungerade. Also kann es wieder nur eine ungerade Zahl 2n+1 geben, sodass 2p+1=(2n+1)3 gilt. Es folgt 2p+1=8n3+12n2+6n+1 => p=4n3+6n2+3n=n(4n2+6n+3) Wir wissen, dass p eine Primzahl ist. D.h. es muss n=1 gelten, sonst wäre p eine zusammengesetzte Zahl. Im Fall n=1 ergibt sich p=13 und das ist tatsächlich eine Lösung der Gleichung, denn 2p+1=2*13+1=27=33. MfG Christian } |
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