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Uneigentliches Integral gesucht

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Toxical (Toxical)
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Mitglied
Benutzername: Toxical

Nummer des Beitrags: 33
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 12. November, 2004 - 21:14:   Beitrag drucken

Hallo,

ich bin auf das Problem gestoßen, das Integral
Int[1/x*sin(x)^2]
zwischen 0 und unendlich zu integrieren. Gebe ich es in Mathematica ein, erscheinen jenach Art der Eingabe unterschiedliche Resultate.

Meine Frage lautet, ob obengenanntes Integral konvergiert, wenn ja, welchen Wert es hat und ob ich den womöglich symbolisch ausdrücken könnte.

Besten Dank im Voraus, T.
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Sotux (Sotux)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 473
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 13. November, 2004 - 19:43:   Beitrag drucken

Hi,

ich denke mal das divergiert, weil der divergente Integrand 1/x ja nur durch eine Art periodisches Muster gedämpft wird, das bringt asymp. nur einen Faktor 1/2.

sotux
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4608
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 14. November, 2004 - 11:29:   Beitrag drucken

Hi Toxical,

Sotux hat Recht; das vorgelegte Integral existiert nicht.

Von einem CAS-System sollte man erwarten dürfen,
dass dem entsprechend eine richtige Reaktion erfolgt.

Damit wir alle nicht leer ausgehen, schlage ich vor,
den Integranden abzuändern:
wir schreiben dort x^2 statt x; alles Andere bleibt
gleich.
Das Resultat ist dann ½ Pi.
Man versuche, dies zu begründen.


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4614
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 16. November, 2004 - 13:28:   Beitrag drucken

Hi

Bei meinen Bemerkungen zu Deinem Integral möchte
ich kleine Korrekturen und Ergänzungen anbringen.

Es soll heißen:
CA-System statt CAS-System

Ergänze:
wir schreiben dort im Nenner x^2 statt x;
alles Andere bleibt gleich.

Weitere analoge Integrale:

J1 = int [(sin x)^3 / x^2] von x = 0 bis unendlich

J2 = int [(sin x)^3 / x^3] von x = 0 bis unendlich

J3 = int [(sin x)^4 / x^4] von x = 0 bis unendlich


Die Resultate lauten:

J1 = ¾ ln 3
J2 = 3 Pi / 8
J3 = Pi / 3

Vielleicht kann das jemand rechnerisch (von Hand)
bestätigen!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1681
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 16. November, 2004 - 18:50:   Beitrag drucken

Hi megamath,

zu J2 hab ich mir folgende Gedanken gemacht:

int[ sin(x)^3/x^3 dx ] [0..inf]

Benutzt man:

sin(x)^3 = 1/4*{ 3*sin(x) - sin(3*x) }

Bekomt man die Integrale:

I1 : 3/4* int[ sin(x)/x^3 dx]
I2 : -1/4*int[ sin(3x)/x^3 dx]

Beide kann man mit Partieller Integration gut bearbeiten:

I1 = -(3/8)*sin(x)/x^2-3/8*cos(x)/x-(3/8)*int[ sin(x)/x dx ]
I2 = 1/8*sin(3*x)/(x^2)+3/8*cos(3*x)/x+9/8*int[ sin(3x)/x dx]

J2 = I1 + I2

Setzt man nun die Grenzen ein, nutzt ein paar mal L'Hospital und die Erkenntnis, das:

int[ sin(x)/x dx ] [0..inf] = pi/2

und auch[!!]

int[ sin(3x)/x dx ] [0..inf] = pi/2

(Das wurde hier im Forum schon öfters bewiesen)

Dann erhält man : J2 = -3/16*pi + 9/16*pi

J2 = 3/8*pi q.e.d

Ich denke J3 müsste ähnlich gehen, für J1 hab ich leider im Moment keine Zeit...

Oder gibt es eine einfachere Methode?

mfg
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4619
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. November, 2004 - 09:39:   Beitrag drucken

Hi Ferdi


Schön gemacht.
Es bleibt immer etwas hängen!

Das sollte nun reichen und als Katalysator dienen,
auf diesem interessanten Gebiet tätig zu werden.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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