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Toxical (Toxical)
Mitglied Benutzername: Toxical
Nummer des Beitrags: 33 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 12. November, 2004 - 21:14: |
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Hallo, ich bin auf das Problem gestoßen, das Integral Int[1/x*sin(x)^2] zwischen 0 und unendlich zu integrieren. Gebe ich es in Mathematica ein, erscheinen jenach Art der Eingabe unterschiedliche Resultate. Meine Frage lautet, ob obengenanntes Integral konvergiert, wenn ja, welchen Wert es hat und ob ich den womöglich symbolisch ausdrücken könnte. Besten Dank im Voraus, T. |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 473 Registriert: 04-2003
| Veröffentlicht am Samstag, den 13. November, 2004 - 19:43: |
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Hi, ich denke mal das divergiert, weil der divergente Integrand 1/x ja nur durch eine Art periodisches Muster gedämpft wird, das bringt asymp. nur einen Faktor 1/2. sotux |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4608 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 14. November, 2004 - 11:29: |
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Hi Toxical, Sotux hat Recht; das vorgelegte Integral existiert nicht. Von einem CAS-System sollte man erwarten dürfen, dass dem entsprechend eine richtige Reaktion erfolgt. Damit wir alle nicht leer ausgehen, schlage ich vor, den Integranden abzuändern: wir schreiben dort x^2 statt x; alles Andere bleibt gleich. Das Resultat ist dann ½ Pi. Man versuche, dies zu begründen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4614 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 16. November, 2004 - 13:28: |
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Hi Bei meinen Bemerkungen zu Deinem Integral möchte ich kleine Korrekturen und Ergänzungen anbringen. Es soll heißen: CA-System statt CAS-System Ergänze: wir schreiben dort im Nenner x^2 statt x; alles Andere bleibt gleich. Weitere analoge Integrale: J1 = int [(sin x)^3 / x^2] von x = 0 bis unendlich J2 = int [(sin x)^3 / x^3] von x = 0 bis unendlich J3 = int [(sin x)^4 / x^4] von x = 0 bis unendlich Die Resultate lauten: J1 = ¾ ln 3 J2 = 3 Pi / 8 J3 = Pi / 3 Vielleicht kann das jemand rechnerisch (von Hand) bestätigen! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1681 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 16. November, 2004 - 18:50: |
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Hi megamath, zu J2 hab ich mir folgende Gedanken gemacht: int[ sin(x)^3/x^3 dx ] [0..inf] Benutzt man: sin(x)^3 = 1/4*{ 3*sin(x) - sin(3*x) } Bekomt man die Integrale: I1 : 3/4* int[ sin(x)/x^3 dx] I2 : -1/4*int[ sin(3x)/x^3 dx] Beide kann man mit Partieller Integration gut bearbeiten: I1 = -(3/8)*sin(x)/x^2-3/8*cos(x)/x-(3/8)*int[ sin(x)/x dx ] I2 = 1/8*sin(3*x)/(x^2)+3/8*cos(3*x)/x+9/8*int[ sin(3x)/x dx] J2 = I1 + I2 Setzt man nun die Grenzen ein, nutzt ein paar mal L'Hospital und die Erkenntnis, das: int[ sin(x)/x dx ] [0..inf] = pi/2 und auch[!!] int[ sin(3x)/x dx ] [0..inf] = pi/2 (Das wurde hier im Forum schon öfters bewiesen) Dann erhält man : J2 = -3/16*pi + 9/16*pi J2 = 3/8*pi q.e.d Ich denke J3 müsste ähnlich gehen, für J1 hab ich leider im Moment keine Zeit... Oder gibt es eine einfachere Methode? mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4619 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. November, 2004 - 09:39: |
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Hi Ferdi Schön gemacht. Es bleibt immer etwas hängen! Das sollte nun reichen und als Katalysator dienen, auf diesem interessanten Gebiet tätig zu werden. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |