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xaido
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. November, 2004 - 17:53: | 
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Wer kann mir helfen? Soll alle Gruppen bis auf Isomorphie der Ordnung 961 bzw 899 bestimmen. Wie mach ich das? Mit Hilfe von p-Sylow Gruppen? Danke |
xaido
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. November, 2004 - 09:52: |
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Hat niemand nen Tipp für mich? |
troggy
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. November, 2004 - 05:38: |
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Hallo xaido!
Habe deine Anfrage gerade erst durch Zufall gelesen.
Hoffentlich hilft dir das folgende etwas weiter (obwohl vielleicht zu spät?)
961=31^2 und 899=29*31
Für den ersten Fall gibt es nun den schönen Satz:
Für jede Primzahl p (und 31 ist ja eine!) gibt es (bis auf Isomorphie) genau zwei nichtisomorphe Gruppen der Ordnung p^2, nämlich Cp^2 und Cp X Cp.
Für den zweiten Fall ist folgendes entscheidend:
1) Die Ordnung jedes Elements einer Gruppe teilt die Gruppenordnung, daher gibt es für Gruppen mit der Ordnung p (p Prim) nur eine Möglichkeit (bis auf Isomorphie natürlich): die zyklische Gruppe Cp. Denn für ein Element g aus der Gruppe muss ja gelten ord(g)=p oder ord(g)=1, nun muss es aber ein Element der Ordnung p geben, denn das einzige Element einer Gruppe mit Ordnung Eins ist das neutale Element! Besitzt aber ein Gruppenelement g als Ordnung die Gruppenordnung, so wird die Gruppe schon durch <g> erzeugt, d.h. die Gruppe ist zyklisch!
2) Was hilft das hier?
Nun, 29 und 31 sind Primzahlen und es gilt der Satz: Sind m und n teilerfremd, so gilt
(*) Cm X Cn isomorph zu Cmn.
Wenn m und n (unterschiedliche) Primzahlen (wie hier) gilt sogar: Eine Gruppe G der Ordnung mn ist genau dann zyklisch, wenn gilt G isomorph zu Cm X Cn. (Und (*) gilt ja!)
Eine Gruppe der Ordnung 29*31=899 ist also zwingend zyklisch und jede zyklische Gruppe endlicher Ordnung ist (wieder bis auf Isomorphie) eindeutig.
Lange Rede kurzes Fazit:
Es gibt (bis auf Isomorphie) genau zwei Gruppen der Ordnung 961 - nämlich C961 und C31 X C31 und eine Gruppe der Ordnung 899 - nämlich C899.
Hoffe dir damit geholfen zu haben ... |
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