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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1675
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. Oktober, 2004 - 10:23: | 
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Halli Hallo,
folgende Aufgabe:
Wir befinden uns im Punkt A auf 51° nördlicher Breite und 12°östlicher Länge.
a)Berechne die länge des kürzesten Weges entlang der Erdoberfläche von A zum Nordpol.
b)Berechne den euklidischen Abstand von A zum Nordpol.
c)Berechne die Länge des kürzesten Weges entland der Erdoberfläche von A nach Greenwich[ 51° nördliche Breite , 0° östliche Länge ]!
Zunächst habe ich mir den Mittelpunkt der Erde in O gedacht, dann mit dem Skalarprodukt und den Kugelkoordinaten folgende Formel für den Mittelpunktswinkel a von OS und ON hergeleitet:
L1 und L2 seien die Längen, B1 und B2 die Breitengrade:
cos(a) = cos(L1-L2)*cos(B1)*cos(B2) + sin(B1)*sin(B2)
Ich erhalte dann für
a) 8666 2/3 km [ 8666,67 km ] [ a = 78° ]
b) 4251,25 km [einfach die cartesichen Koordinaten berechnet]
c) 1333 1/3 km [ 1333,33 km ] [ a = 12° ]
Also kann ich das so machen und stimmen meine Ergebnisse? a) und c) kommen mir fast zu schön vor!
PS: Die Erde sei eine Kugel mit dem Umfang U = 40000 km!
mfg |
Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 4576
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. Oktober, 2004 - 12:20: |
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Hi Ferdi
Du hast es weit gebracht !
Die Distanz in a) ist wohl etwas übertrieben,
iie Hälfte genügt auch!
b) ist richig.
Ich habe hier mit Trigonometrie im gleichschenkligen Dreieck gearbeitet.
c) neu rechnen !
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 4577
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. Oktober, 2004 - 12:45: |
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Hi Ferdi
Wir arbeiten mit der so genannten Polhöhe h des Erdpunktes A.
Dies ist der zur geographischen Breite komplementäre Winkel,
also im vorliegenden Fall h = 90° - 51° = 39°.
Der Erdradius ist nach Angabe R ~ 6366 km
Der Grosskreisbogen von A nach N liegt auf dem Meridian von A.
Bogenlänge Bo von A nach N
Bo = R * arc h = 4333 km
oder so:
Bo = 40000 * 39 / 360 =4333 km
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 4578
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. Oktober, 2004 - 12:59: |
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Hi Ferdi
Zu b)
Das ebene Dreieck MAN
(Kugelmittelpunkt M, Erdort A, Nordpol N) ist glwichschenklig
Schenkellänge MA = MN = R ´6766 km
Winkel an der Spitze : Polhöhe h von A mit h = 39°.
Die gesuchte euklidische Distanz ist die Seitenlänge
AN im ebene Dreieck MAN,also
AN (eukl) = 2 * MA * sin (1/2 h) = 4250 km
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 4579
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. Oktober, 2004 - 13:20: |
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Hi Ferdi
Hinweis zur Lösung der Teilaufgabe c)
Die drei Kugelpunkte A G N
(G wie Greenwich)
sind die Ecken eines sphärischen Dreiecks.
Vom Dreieck sind die zwei Seiten
(Zentriwinkel von Bögen)
NA = 39°, NG = 39° und der Zwischenwinkel
nü bei N bekannt.
Es ist somit nach dem Fall SWS bestimmt.
Zur Lösung kann der Seitenkosinussatz herangezogen werden
Berechne damit die dritte Seite, den Bogen von A nach G.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1676
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. Oktober, 2004 - 19:50: |
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Hi megamath,
besten Dank für deine Lösungen! Das mit den Dreiecken ist echt ne gute Idee!
Mir kam das schon ein wenig komisch vor mit den mehr als 8000km! Naja, meine Formel funktioniert aber auch...ich hatte nur Breiten- und Längengrade vertauscht...ein kleiner aber fataler Fehler!
mfg |
Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 4582
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. Oktober, 2004 - 20:07: |
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Hi Ferdi
Hier noch meine vollständige Lösung der Teilaufgabe c)
Bezeichnungen:
Gegeben:
Seiten NA = NG = 39°
Winkel nü bei N: nü = 12° (Längendifferenz)
Gesucht: Seite AG : x
Seitencosinussatz:
cos x = cos (NA) * cos(NG) + sin(NA) sin (NG) * cos(nü)
daraus x = 7,5435° und
Bogenlänge 40000 / 360 * 7,5435 =838.2km
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,.megamath
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