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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4558
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Oktober, 2004 - 14:17: | 
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Hi allerseits
Mit der Aufgabe LF 507 ist eine weitere Aufgabe
den homogenen Punktkoordinaten gewidmet.
Das Resultat der Aufgabe zeigt, dass beim Gebrauch
homogener Koordinaten bei der Ermittlung der
Doppelpunkte einer Projektivität auf einer Geraden
die Eigenvektoren einer (2,2) - Matrix involviert sind.
Dies soll an einem numerischen Beispiel gezeigt werden.
Das Beispiel lautet:
Man berechne die Doppelelemente der folgenden
Projektivität auf der x-Achse:
A mit x = -4, A´ mit x´ = 14
B mit x = -2 , B´ mit x´ = - 6
C mit x = 1, C´ mit x´ = 1,5
Als Resultat erhalten wir die Abbildungsgleichung
x´ = (4 x + 2 ) / ( x + 3)
Die Aufgab LF 507 lautet konkret:
a)
Man schreibe die Abbildungsgleichungen mit
homogenen Koordinaten.
Man beachte dabei, dass der Punkt P(x) zwei
homogenen Koordinaten hat: P(X:T),
analog gilt P´(x´) = P(X´:T´).
b)
Man ermittle die Eigenwerte und Eigenvektoren
der Matrix
A:= matrix ([[4,2], [1,3]])
Welches ist der Zusammenhang zwischen den
Eigenvektoren und den Doppelelementen der
Abbildung?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4566
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Oktober, 2004 - 09:28: |
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Hi allerseits
Ich bin gebeten worden, wenn immer möglich,
die Lösungen der gestellten neuesten
LF-Aufgaben noch zu präsentieren und
gelegentlich neue zu stellen.
Ich komme diesem Wunsch gerne entgegen,
in bewährter, wenn möglich noch lockerer Folge
(NLF).
Zur Aufgabe LF 507
a)
X´/T´ = (4X + 2T) / (X +3T) oder mit einem von
null verschiedenen Proportionalitätsfaktor f:
X´ = f * (4X + 2T)
T´ = f * (X + 3T)
b )
Die charakteristische Gleichung für die Eigenwerte L
lautet:
L ^ 2 – 7 L + 10 = 0 , mit den Lösungen
L1 = 2, L2 = 5.
Eigenvektor zu L1 =2 ; Komponenten u ,v,
aus der Gleichung
2 u + 2 v = 0
wir nehmen u = 1, v = -1
Dies ergibt den Doppelpunkt (gewöhnliche Koordinaten):
x = u/v = -1.
Eigenvektor zu L2 =5 ;Komponenten u ,v,
aus der Gleichung
- u + 2 v = 0
wir nehmen u = 2, v = 1
Dies ergibt den Doppelpunkt (gewöhnliche Koordinaten):
x = u/v = 2.
Man überzeuge sich davon, dass die Abbildung
die gegebenen Doppelpunkte hat.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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