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F2k (F2k)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: F2k
Nummer des Beitrags: 169
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Oktober, 2004 - 12:17: | 
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hallo alle zusammen,
ich wollte ma fragen, wie man zeigt, dass die keplersche fassregel:
Int(f(x))dx [a,b] = ((b-a)/6)*[f(a) + 4*f((a+b)/2) + f(b)]
für polynome 2ten grades mit
f(x) = alpha*x^2 + beta*x + gamma
gilt!
muss man hier lediglich f(x) integrieren und versuchen, den rechten term so umzuformen, dass man auf das integral von f(x) kommt??
so hab ich mir das gedacht, aber irgendwie scheint das bei mir nicht zu klappen!?
gibts da vielleicht einen trick??
vielen dank im voraus!
mfg
steve |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4557
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Oktober, 2004 - 13:31: |
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Hi Steve
Ich zitiere aus einer meiner früheren Arbeiten
zu diesem Thema das Folgende.
Hoffentlich sind Dir meine Ausführungen dienlich!
Wir berechnen zuerst das Integral J = int [f(x) * dx] für x = a
als untere Grenze und x = b als obere Grenze.
Sodann berechnen wir den Ausdruck K nach Kepler:
K = (b – a ) / 6 * [ f(a) + 4 * f (m) + f (b)]
mit dem x- Wert m = ½ (a+b) im Mittelpunkt M des
Intervalls [a,b], und wir weisen nach , dass J und K
übereinstimmen.
Dies geschieht in zwei getrennten Umgängen, einmal für
f(x) = u x ^ 2 + v x + w, das andere Mal für f(x) = x^3.
A]
Sei f(x) = u x^2 + v x + w; nach leichter Rechnung finden
wir:
J = 1/3 u b^3 + ½ v b^2 + w b - 1/3 u a ^ 3- ½ v a^2 - w a
Wir berechnen
r = f(a) = u a^2 + v a + w und t = f(b) = u b ^2 + v b + w
Für s = f(m) kommt:
s = ¼ u a ^2 + ½ u a b + ¼ u b^2 + ½ v a + ½ v b + w
setzt man dies alles im Term für K ein, so erhält man für
K = (b-a) /6 * [r + 4 s + t] einen Term, der mit J formal
übereinstimmt, was zu zeigen war.
B]
Sei f(x) = x ^ 3; nach leichter Rechnung finden wir:
J = ¼ b^4 – ¼ a^4
Wir berechnen
r = f(a) = a^3 und t = f(b) = b^3
Für s = f(m) kommt:
s = 1/8 * [a^3 +3a^2 b+3a b^2 + b^3]
setzt man dies alles im Term für K ein, so erhält man für
K = (b-a) /6 * [r + 4 s + t] einen Term, der mit J formal
übereinstimmt, was zu zeigen war.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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