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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4551
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Oktober, 2004 - 09:09: | 
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Hi allerseits
Mit der Aufgabe LF 505 sind weitere Aufgaben
mit homogenen Punktkoordinaten zu lösen.
Die Nummerierung setzt jene aus Aufgabe LF 504
fort.
(8)
Wie lautet die Gleichung des Kegelschnitts c:
A x^2 + 2 B x y + C y^2 = 1
in homogenen Koordinaten?
Welche Beziehung müssen die Koeffizienten A,B,C
erfüllen, wenn c die unendlich ferne Gerade berühren
soll?
(9)
Man ermittle die Polare der Ellipse
25 x^2 + 16 y^2 = 400
für den Punkt P1(1:1: 0) als Pol.
(10)
Man bestimme die Schnittpunkte U und V der Hyperbel
25 x^2 - 16 y^2 = 400
mit der unendlich fernen Geraden und ermittle die Gleichungen der Polaren dieser Punkte bezüglich der Hyperbel.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath.
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1671
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Oktober, 2004 - 16:01: |
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Hi megamath,
zu 8)
der Kegelschnitt müsste:
AX^2 + 2BXY + CY^2 = T^2
lauten, dann mit T = 0 schneiden:
AX^2 + 2BXY + CY^2 = 0
Die quadratische Gleicung in X bzw Y darf nur eine Lösung haben, also setze ich ihr Diskriminanten 0 und erhalte so:
a) A = B = C , oder b) A = C = -B
Dann wird z.B.
a) A( X^2 + 2XY + Y^2 ) = 0
(X+Y)^2 = 0
Aber das wäre doch dann einfach eine Geradengleichung, ein ausgearteter Kegelschnitt? Ich bin mir deshalb nicht ganz sicher!
zu 9)
25X^2 + 16Y^2 = 400T^2
25XX1 + 16YY1 = 400TT1
mit (1/1/0):
25X + 16Y = 0
bei 10) hab ich so meine Probleme:
Wenn ich die Hyperbelgleichung umschreibe in Homogene Koordinaten:
25X^2 - 16Y^2 = 400T^2
Dann mit T = 0 schneide:
25X^2 = 16Y^2
Und nun? Muss ich dies wieder in die Hyperbelgleichung einsetzen? So hab ich ja nur eine Ausage welche Gleichung die Schnittpunkt erfüllen müssen, aber diese Gleichung erfüllen ziemlich viele Punkte...
mfg |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4552
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. Oktober, 2004 - 16:31: |
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Hi Ferdi
Zur Teilaufgabe 8)
Du hast richtig angefangen!
Am Schluss muss man fordern, dass die
quadratische Gleichung in y/x eine Doppellösung
hat.
Das ergibt die bekannte Parabelbedingung
B^2 – A C = 0
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4553
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. Oktober, 2004 - 19:26: |
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Hi Ferdi
Zu Teilaufgabe (9):
Diese Aufgabe hast Du vollständig richtig gelöst!
Es folgt jetzt eine kleine Zusatzaufgabe:
Welche geometrische Rolle spielen die Schnittpunkte
T1 und T2 der gegebenen Ellipse mit der Geraden p,
deren gewöhnliche Gleichung
25 x + 16 y = 0
lautet?
Zu der Teilaufgabe (10) nehme ich später Stellung.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4554
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. Oktober, 2004 - 21:42: |
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Hi allerseits
Bemerkungen zur Teilaufgabe (10)
Die Grundsituation ist klar:
es geht um die Ermittlung der beiden
Asymptoten a1 und a2 der Hyperbel
25 x^2 - 16 y^2 = 400 mit den
Halbachsen a = 4, b = 5.
Mit elementaren Methoden findet man
a1: 5 x – 4 y = 0
a2: 5 x + 4 y = 0
Wir schreiben die Hyperbelgleichung mittels
homogener Koordinaten;
Resultat wie gehabt:
25 X^2 - 16 Y^2 = 400 T^2
Schnitt mit der Ferngeraden T = 0 :
25 X^2 - 16 Y^2 = 0
Diese Bedingung zerfällt in zwei Bedingungen
ersten Grades, nämlich.
L1: 5 X – 4 Y = 0
L2: 5 X + 4 Y = 0
Diese Gleichungen können als Gleichungen der
Asymptoten identifiziert werden:
doch Gemach!
Wir ermitteln zuerst die beiden gesuchten
Schnittpunkte der Hyperbel,
d.h. auch der Geraden L1,L2, mit der Ferngeraden.
Diese Punkte können mit homogenen Koordinaten so geschrieben werden:
S1(4:5: 0)
S2(-4:5:0)
Nachweis durch Einsetzen
Da S1 und S2 auf der Hyperbel liegen, sind ihre Polaren die
Tangenten in diesen Punkten, also die Asymptoten.
Wir rechnen das nach:
Polarengleichung der Hyperbel:
25 X1 * X – 16 Y1 * Y = 400 T1 * T
Setze der Reihe nach für X1,Y1,T1 die
Koordinaten von S1 bzw. S2 ein.
Es kommen dir Gleichungen
100 X – 80 Y = 0 , id est a1,
100 X + 80 Y = 0 , id est a2.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4556
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Oktober, 2004 - 10:28: |
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Hi allerseits
Lösung der Zusatzaufgabe zur Teilaufgabe (9).
Die genannten Punkte T1 und T2 liegen sich
diametral gegenüber, da die Gerade p
mit der Gleichung
25 x + 16 y = 0
eine Durchmessergerade der Ellipse
25 x^2 + 16 y^2 = 400 ist.
Die Ellipsentangenten t1 und t2 in T1 bzw.T2
sind parallel.
Wir berechnen ihre Steigung y´ = M mit Hilfe
der Differentialrechnung.
Implizite Differentiation der Ellipsengleichung
liefert:
50 x + 32 y y´= 0, daraus entspringt
y´ = - 25 x / 16 y = M.
Setzt man M = 1, damit die Tangenten durch den vorgegebenen unendlich fernen Punkt
P1(1:1: 0) gehen, kommt die in der Lösung gegebene
Relation 25 x + 16 y = 0 , was zu zeigen war.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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