| Autor |
Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4543
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Oktober, 2004 - 09:38: | 
|
Hi allerseits
In den Aufgaben LF 503 bis LF 507 erscheinen
homogene Koordinaten, die in der projektiven
Geometrie von einigem Nutzen sind.
Es ist schon auch an der Zeit, Bekanntschaft mit
diesen Punktkoordinaten in der (x,y)-Ebene
zu machen.
In der Aufgabe LF 513 sollen entsprechend auch
homogene Koordinaten für Geraden eingeführt
werden; gemeint sind die
so genannten Linienkoordinaten für Geraden.
Wir führen die homogenen Punktkoordinaten so ein:
Gegeben sei ein beliebiger Punkt A(X/Y) dieser
Ebene, der vom Nullpunkt O verschieden sein soll.
A bestimmt mit O die Ursprungsgerade g = OA,
deren Koordinatengleichung
y = Y/X * x lautet,
oder in der üblichen Parameterdarstellung mit s als
Parameter:
x = s * X , y = s * Y.
Wir wechseln den Parameter und setzen
s = 1 / T; so entsteht die Parameterform für g:
x = X / T , y = Y / T
Damit ist ein beliebiger Punkt P auf g durch
drei Koordinaten X,Y,T, die homogenen Koordinaten,
bestimmt; Schreibweise: P(X:Y:T)
Für einen gegebenen Punkt P ist das Tripel der
homogenen Koordinaten nur bis auf Proportionalität
bestimmt.
Das Tripel (0:0:0) ist auszuschließen
Speziell:
Ist T = 0, so ist der betreffende Punkt ein unendlich
ferner Punkt (uneigentlicher Punkt) ;
Beispiel
U(3:4: 0) stellt den unendlich fernen Punkt der Geraden
y = 4/3 x dar.
Ist T = 1,
so erhält man die gewöhnlichen Koordinaten.
P(3:4:1) ist identisch mit P(3/4).
Abschließend:
Jedem zulässigen Wertetripel X,Y,T homogener
Koordinaten ist ein eindeutig bestimmter
eigentlicher oder uneigentlicher Punkt zugeordnet.
Jedem eigentlichen oder uneigentlichen Punkt
entspricht, abgesehen von einem Faktor, ein
bestimmtes Zahlentripel X,Y,T.
Die Aufgabe LF 503 ist in einzelne
Kurzaufgaben gegliedert; diese lauten:
(1)
Gegeben sind die Punkte ´
P(2:-4:2), Q(0:0:13),R(6:6:0).
Welches sind die gewöhnlichen Koordinaten
dieser Punkte?
(2)
Wie lauten die Gleichungen der x-Achse,
der y-Achse und der unendlich fernen Gerade
in homogenen Koordinaten?
(3)
Welches sind die homogenen Koordinaten des
Nullpunktes, des unendlich fernen Punktes der
x-Achse und des unendlich fernen Punktes
der y-Achse?
(4)
Man schreibe die Gleichung der Verbindungsgerade
der Punkte P(3:-1:2), Q(2/2/1) in homogenen
Koordinaten an.
(5)
Dasselbe für P(4:1:3), Q(2:3:0)
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1663
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Oktober, 2004 - 13:45: |
|
Hi megamath,
hier mal ein paar meiner Lösungen:
zu 1)
x = X/T , y = Y/T
also:
P (2/-4/2) ==> P'(1/-2)
Q (0/0/13) ==> Q'(0/0)
R (6/6/0) ===> unendlich ferner Punkt von y=x
Zu 2)
x-Achse: Y = 0
y-Achse: X = 0
unendlich ferne Gerade: T = 0
zu 3)
Homogene Koordinaten des Nullpunktes: (0/0/r) mit r € R\ {0}
unendlich ferner Punkt der x-Achse: (r/0/0) mit r € R\ {0}
unendlich ferner Punkt der y-Achse: (0/r/0) mit r € R\ {0}
zu 4)
Hier habe doch einige Schwierigkeiten! Weil es verschiedene T sind. Ich dachte erst daran erst in kartesische Koordianten zu rechnen:
P'(1,5/-0,5) ; Q'(2/2)
y = 5x - 8
Dann Y/T=5*X/T-8, also Y = 5X - 8T, aber hier kam dann das Problem mit den verschiedenen T's...Anders hab ich bis jetzt auch noch kein Weg gefunden!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4544
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Oktober, 2004 - 14:39: |
|
Hi Ferdi
Du hast die Aufgaben bravouröst gelöst
(um des Reimes willen!).
zu(4)
Resultat.
5 X – Y – 8 T = 0
ALLE Koeffizienten dürfen noch mit einem von
null verschiedenen Faktor multipliziert werden!
zu (5)
Hier ist die Steigung m bekannt.
Für die Aufgaben (4) und (5) zeige ich vielleicht
später eine Geheimlösung, welche Insider benützen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1664
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Oktober, 2004 - 19:15: |
|
Hi megamath,
zu 5)
Wieso ist die Steigung bekannt? Wir haben doch T = 0? Hm, ein wenig gewöhnungsbedürftig diese Sachen... An Insiderlösungen bin ich immer interessiert! 
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4545
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Oktober, 2004 - 21:05: |
|
Hi Ferdi
Nimm den Punkt
Q*(2:3:1) zu Hilfe
Die Gerade g* = OQ* hat die Gleichung
y = 3 /2 x und den unendlich fernen Punkt Q(2:3:0)
Die gesuchte Gerade ist dazu parallel und hat die
gewöhnliche Gleichung
y = 3 /2 x - 5 / 3 oder homogen:
- 9 x + 6 y + 10 t = 0
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4546
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Oktober, 2004 - 21:09: |
|
Hi Fredi
Zu den Teilaufgaben (4) und (5).
Man kann diese Aufgaben auch spielerisch dadurch lösen,
dass man die Komponenten von Vektorprodukten bildet!
Bei (4) ist dies das Kreuzprodukt p der Vektoren
a := {3;-1;2} und b:= {2;2;1}
Versuche, dies durchzuziehen!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1665
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Oktober, 2004 - 23:00: |
|
Hi megamath,
es funktioniert tatsächlich!
c = a x b = { -5 , 1 , 8 }
Nun c*{X,Y,T} = 0
-5X + Y + 8T = 0
5X - Y - 8T = 0
Ebenso bei 5)
a = {4,1,3} , b = {2,3,0}
c = a x b = {-9,6,10}
c*{X,Y,T} = 0
-9X + 6Y + 10T = 0
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4547
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Oktober, 2004 - 12:15: |
|
Hi Ferdi
Genau so ist das gemeint; das gibt zu denken!
Ich komme später auf die Angelegenheit zurück.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
|
