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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4521
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Oktober, 2004 - 12:34: | 
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Hi allerseits,
In der Aufgabe LF 497 soll ein Spezialfall des in der
Aufgabe LF 496 erschienenen Involutionssatzes des
vollständigen Vierecks behandelt werden.
Legt man die Schnittgerade g durch einen Diagonalpunkt
des vollständigen Vierecks, so stellt dieser ein
Doppelelement der Involution dar.
Die Diagonalpunkte sind, wie wir kürzlich
gelernt haben, die Schnittpunkte je
zweier Gegenseiten, sie heißen auch Nebenecken.
Das folgende numerische Beispiel ist demjenigen der
Aufgabe LF 496 nachgebildet.
Gegeben sind die vier Ecken A,B,C,D des vollständigen
Vierecks durch ihre Koordinaten:
A(-2/1),B(0/0),C(3/5),D(-4/3).
Der Schnittpunkt S der Gegenseiten AC und BD ist eine
der drei Nebenecken; die Koordinaten sind:
xS = -52/31, yS = 39/31.
Die Gerade g mit der Gleichung y = 39/31 geht durch S und
es entsteht auf ihr eine Involution mit dem Punkt S
als Doppelpunkt.
Man weise dies rechnerisch nach!
Welches ist der x-Wert des zweiten Doppelpunktes?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4522
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Oktober, 2004 - 12:54: |
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Hi alleresits
Wegmarken zur Lösung der Aufgabe LF 497.
Die Gleichung der Involution lautet:
a * x x´ + b * ( x + x´ ) + 1 = 0
mit a = 275807 / 1481792 ; b = 25885 / 56992
Zweiter Doppelpunkt (mit Vieta!):
x2 = - 1481792 / 453747 ~ - 1,677
Viel Vergnügen bei der Suche nach dieser Lösung!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1655
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Oktober, 2004 - 10:31: |
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Hi megamath,
diesmal erhalte ich die selbe Lösung. Auch die markant unfreundlichen Brüche...
Zum Vergleich hier meine Punktepaare:
U -78/31 ... U' -313/31
V 117/155 .. V' -70/31
W -52/31 ... W' -52/31
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4523
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Oktober, 2004 - 11:56: |
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Hi Ferdi
Ich bin Dir dankbar, dass Du Dir die Mühe
genommen hast, diese Monsterrechnung
durchzuführen und dies erst noch mit Erfolg!
Die Koordinaten der Punktepaare sind korrekt
und stellen ein wichtiges Zwischenresultat dar.
Es war nicht böse Absicht, unfreundliche Brüche
ins Spiel zu bringen.
Ich habe einfach die Daten der früheren Aufgabe übernommen,
statt neue, besser geeignete
und dem Problem angepasste Daten zu wählen.
Hauptsache: wir erkennen den Satz und
die Wirkung der Nebenecken.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4527
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Oktober, 2004 - 12:39: |
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Hi allerseits
Ergänzungen zur Aufgabe LF 497.
Was passiert, wenn die Schnittgerade g durch
eine Ecke A,B,C,D des vollständigen Vierecks
gelegt wird?
Antwort:
Es entsteht eine Ausartung im folgenden Sinn:
jedem Punkt von g wird diese Ecke zugeordnet.
Manche Autoren nennen diese ausgeartete
Projektivität eine parabolische Involution.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4528
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Oktober, 2004 - 16:17: |
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Hi allerseits
Wenn man die exakten Werte der Koeffizienten
der Abbildungsgleichung ermitteln möchte,
entsteht ein ziemlicher Rechenaufwand.
Daher sollen für allfällige Interessenten ein paar
Zwischenresultate zu Kontrollzwecken präsentiert
werden.
(1)
Gleichung von AC: 4x – 5y = -13
Gleichung von BD: 3x + 4y = 0
Der Schnittpunkt S = W = W´ von AC, BD
ist ein Diagonalpunkt des vollständigen Vierecks
ABCD.
Wir erhalten:
W(-52/31 ; 39/31);
relevant ist die x-Koordinate -52/31 von W = W´
NB:
Gleichung der Parallelen g zur x-Achse durch S:
y = 39/31 in Übereinstimmung mit dem Aufgabentext.
(2)
Ermittlung des Schnittpunktes V von BC mit g
Gleichung von BC: 5x – 3y = 0
somit V ( 117/155;39/31),relevant ist wiederum
nur die x-Koordinate.
(3)
Ermittlung des Schnittpunktes V´ von AD mit g
Gleichung von AD: x + y = - 1
somit V´ ( - 70/31;39/31),relevant ist wiederum
nur die x-Koordinate.
(4)
Ermittlung des Schnittpunktes U von AB mit g
Gleichung von AB: x + 2 y = 0
somit U ( - 78/31;39/31),relevant ist wiederum
nur die x-Koordinate.
(5)
Ermittlung des Schnittpunktes U´ von CD mit g
Gleichung von CD: 2 x - 7 y = - 29.
somit U´ ( -313/31;39/31),relevant ist wiederum
nur die x-Koordinate.
Für die gesuchte Abbildungsgleichung mache man den Ansatz
a x x´+ b (x + x´) + 1 = 0 und verwerte dabei die x-Werte der
Punktepaare W, W´ und V, V´
Zur Überprüfung setzt man in die gewonnene Gleichung
die x-Werte der Punkte U und U´ ein.
Es ist alles in Ordnung, wie zu erwarten war!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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