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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4500
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Oktober, 2004 - 19:03: | 
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Hi allerseits
In der Aufgabe LF 490 geht es wieder darum,
durch zwei projektive Geradenbüschel einen
Kegelschnitt zu erzeugen.
Die projektiven Büschel haben ihre Zentren im Nullpunkt O
und im Einheitspunkt E(1/0) der x-Achse.
Die Büschelgeraden des ersten Büschels drehen sich mit
konstanter Winkelgeschwindigkeit im positiven Drehsinn um O,
die Geraden des zweiten Büschels drehen sich mit doppelter Winkelgeschwindigkeit um E, ebenfalls im positiven Sinn.
So ist das gemeint:
Erstes Büschel: Richtungswinkel phi der Geraden g:
phi = tau.
Zweites Büschel: Richtungswinkel phi der Geraden h:
phi = 2 tau
Man ermittle die Ortskurve c des Schnittpunktes S
von g und h.
Von c sind die Hauptdaten anzugeben.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1646
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Oktober, 2004 - 21:40: |
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Hi megamath,
ich erhalte diesmal einen Kreis:
g: y = tan(tau)*x
h: y = tan(2*tau)*x - tan(2*tau)
Mit tan(2*x) = 2*tan(x)/(1-tan(x)^2)
Liefert mir:
x = 2*cos(tau)^2
y = 2*sin(tau)*cos(tau)
Oder ohne tau:
(x-1)^2 + y^2 = 1
Ein Kreis um E als Mittelpunkt mit dem Radius 1!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4501
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Oktober, 2004 - 08:49: |
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Hi Ferdi
Deine Herleitung und das Ergebnis sind richtig!
Besten Dank.
Das Resultat ist plausibel und auch mit
elementarer Planimetrie durchschaubar.
Wir zeichnen den Kreis k mit E als Mittelpunkt,
der durch den Nullpunkt O geht.
Die Gerade durch O mit dem Richtungswinkel tau
schneidet k nochmals im Punkt S.
Das Dreieck EOS ist gleichschenklig und hat
somit zwei gleiche Basiswinkel tau in O und S.
Der Außenwinkel bei E beträgt 2 tau ; da er
zugleich den Richtungswinkel der Geraden ES
darstellt, erfüllt die Konfiguration die Anforderung
der gestellten Aufgabe.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4502
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Oktober, 2004 - 17:29: |
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Hi allerseits
Es folgt ein kleiner Nachtrag zu den vorhergehenden
Aufgaben.
Die Ausführungen haben den Zweck, die Bedeutung der
Projektivität für Kegelschnitte zu unterstreichen.
Ein weiteres Ziel besteht darin, ein
Bild zu Meditationszwecken herzustellen,
das geeignet ist, die Zusammenhänge besser zu
erkennen.
Die Figur entsteht so:
Wir gehen aus von einem Kreis, Mittelpunkt M
Radius r beliebig.
Außerhalb des Kreises liegt der Punkt P.
Die Tangenten an den Kreis durch P sind
die Geraden b und c, welche den (spitzen) Winkel
phi bilden, der M zugewendet ist.
Diese Tangenten bleiben während der ganzen
Meditation fest, damit ist phi eine Konstante.
Eine dritte Kreistangente t ist hingegen beweglich;
sie rollt auf dem Kreis ab.
Momentaufnahme:
t schneidet b in B und c in C.
Im Dreieck PBC sind die Innenwinkel die folgenden:
phi bei P, beta bei B , gamma bei C.
Ein kurzes elementargeometrisches Statement ergibt:
Für den Winkel psi = Winlel BMC bei M gilt
psi = ½ (beta + gamma ) = ½ (Pi – phi)
Konsequenz
Der Winkel psi ist während des ganzen
Abrollprozesses konstant:
Dies bedeutet:
Beim Abrollen der Tangente t = BC beschreiben
die Strahlen MB und MC kongruente und damit auch
projektive Strahlenbüschel.
Diese Projektivität überträgt sich durch den
Schnittvorgang auf die Geraden b und c .
Mit anderen Worten:
Die Punktreihen B…auf b und C …auf c sind
projektiv.
Die Verbindungsgeraden BC sind die Tangenten t ;
diese bestimmen als Enveloppe den Kreis, und damit
hat sich der Kreis geschlossen.
Vor dem geistigen Auge spielt sich ein weiterer
Prozess ab, auf den ich später eingehen werde.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4504
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Oktober, 2004 - 19:24: |
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Hi allerseits
Mit der letzten Bemerkung ist das Folgende gemeint:
Projiziert man die Kreisfigur mit den beiden festen
Tangenten b und c und der beweglichen Tangente t
zentral auf eine andere Ebene, so entsteht aus dem
Kreis eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel, samt zwei
festen und einer beweglichen. Tangente.
Da das Doppelverhältnis von vier Punkten einer Geraden
eine Invariante bei Zentralprojektion ist, sind die
beiden Punktreihen auf den projizierten Geraden
nach wie vor projektiv.
Die Verbindungsgeraden entsprechender Punkte hüllen
den KS ein.
Der direkte Beweis dieses Sachverhalts für Kegelschnitte
ist schwierig; es helfen keine elementaren Winkelsätze
der Planimetrie.
Daher ist der Umweg über die Zenralprojektion zum Kreis
sehr nützlich und hilfreich.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1648
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Oktober, 2004 - 19:59: |
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Hi megamath,
weißt du zufällig ob soetwas heutzutage noch Vorlsungsstoff in Deutschland ist?
Das finde ich sehr interesant, würde ich gerne mehr drüber erfahren...Aber ich glaube das würde den Rahmen des Forums sprengen.
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4505
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Oktober, 2004 - 10:51: |
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Hi Ferdi
Deine Fragen zum Angebot an Geometrievorlesungen
kann ich leider nur sehr summarisch beantworten.
Ich empfehle Dir, in Google unter den Stichwörtern
„Geometrie“, „projektive Geometrie“,
„homogene Koordinaten“ etc. nachzusehen.
Zwei Adressen füge ich hier bei:
1.
http://www.math.ethz.ch/undergraduate/lectures/ws0304/other/geometrie_BAUG/dokumente/00Uebersicht.pd f
2.
http://www.ag.jku.at/um/geos1.pdf
Jedenfalls:
An der ETH in Zürich wird die Geometrie an mehreren Abteilungen nach wie vor äußerst pfleglich und
intensiv behandelt!
In diesem Zusammenhang möchte ich auf ein
sehr interessantes Buch hinweisen, das ich kürzlich
gekauft habe:
Verlag Vieweg
Albrecht Beutelspacher und Ute Rosenbaum
Projektive Geometrie
Schon das Vorwort ist lesenswert und aufschlussreich.
Da sind viele Deiner Fragen zum Stellenwert der
Geometrie sehr geistreich beantwortet.
Die Verfasser nehmen auch Stellung zur zentralen
Frage der Stoffauswahl bei der Behandlung
der projektiven Geometrie.
Zitat aus dem Vorwort:
„Dies bedeutet schmerzliche Einschnitte in den im 19.Jahrhundert
kanonisierten Stoff der projektiven
Geometrie. Bei uns gibt es weder Doppelverhältnisse
noch harmonische Lagen….
Projektivitäten fehlen und Kollineationsgruppen
werden nicht thematisiert…“
Ende Zitat.
Ein Trost
In der LF-Serie tauchen diese Dinge weiterhin auf;
ich habe noch ein paar Perlen bereitgestellt!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser.megamath
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