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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4496
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Oktober, 2004 - 09:50: | 
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Hi allerseits.
Motto:
Wir ziehen die Schraube um den Betrag
k* 2 Pi , k=1,2.., an.
In der Aufgabe LF 489 geht es darum,
durch zwei projektive Geradenbüschel eine Hyperbel
zu erzeugen.
Die projektiven Büschel haben ihre Zentren im Nullpunkt O
und im Einheitspunkt E(1/0) der x-Achse.
Die Büschelgeraden des ersten Büschels drehen sich mit
konstanter Winkelgeschwindigkeit im positiven Drehsinn um O,
die Geraden des zweiten Büschels drehen sich mit derselben Winkelgeschwindigkeit im negativen Sinn.
Genauer,
Erstes Büschel: Richtungswinkel phi der Geraden g:
phi = t.
Zweites Büschel Richtungswinkel phi der Geraden h:
phi = - t + ¼ Pi
Man ermittle die Ortskurve c des Schnittpunktes S
von g und h.
Von c sind eine Parameterdarstellung aufzustellen
und die Hauptdaten anzugeben.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1644
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Oktober, 2004 - 11:25: |
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Hi megamath,
ich würde sagen diesmal liegt eine Hyperbel vor, ich bin genauso vorgegangen wie gestern...
Als Parameterdarstellung erhalte ich:
x = (cos(t)-sin(t))*cos(t)/[cos(t)^2 - 2sin(t)*cos(t) - sin(t)^2]
y = (cos(t)-sin(t))*sin(t)/[cos(t)^2 - 2sin(t)*cos(t) - sin(t)^2]
Eliminert man t so ergibt sich:
y^2 + 2xy - x^2 + x - y = 0
Das stellt ein gedrehte Hyperbel mit dem Mittelpunkt M( 1/2 | 0 ) dar!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4497
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Oktober, 2004 - 17:04: |
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Hi Ferdi
Deine Lösung ist korrekt.
Besonders beeindruckt, dass Dir die Elimination des
Parameters gelungen ist!
Als Parameter wählte ich ebenfalls t = tan phi
und erhielt die Darstellung
x = (t – 1) / ( t^2 + 2 t – 1 )
y = t * x.
Es ist möglich, durch eine intensive Betrachtung
der projektiven Erzeugung der Kurve und mit einer ganz kleinen Rechnung die Asymptoten der Hyperbel zu ermitteln und zu erkennen, dass eine Normalhyperbel vorliegt.
Auch die Steigungen der Asymptoten liegen sozusagen auf der Hand.
Ich komme später auf die Angelegenheit zurück.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1645
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Oktober, 2004 - 19:31: |
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Hi megamath,
ich habe auch lange gebrütet, dann kam mir die rettende Idee:
x = (cos(t)-sin(t))*cos(t)/[cos(t)^2 - 2sin(t)*cos(t) - sin(t)^2]
Ich betrachte dies nun als Polarkoordinaten und rechne nun zurück!
cos(t) = x/r
sin(t)= y/r
Da kürzt sich dann einiges weg und übrig bleibt der Hyperbelterm! Das gleiche Ergebniss erhält man wenn man dies mit y versucht!
Alle konventionellen Methoden t zu eliminieren schlugen fehl. Da musste ich unkonventionell denken!
mfg
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4498
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Oktober, 2004 - 19:42: |
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Hi Ferdi
 
Ich gratuliere Dir zu Deiner Idee!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4499
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Oktober, 2004 - 20:00: |
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Hi allerseits
Bestimmung der Asymptoten der Hyperbel.
Es gibt zwei zueinander senkrechte Geraden
u und v des ersten Büschels, denen im zweiten
Büschel dazu parallele Geraden u´, v´
entsprechen:
u´ parallel u , ihr Schnittpunkt ist U inf, der
unendlich ferne Punkt der ersten Asymptote a1
v´ parallel v , ihr Schnittpunkt ist V inf, der
unendlich ferne Punkt der zweiten Asymptote a2.
Ermittlung der Richtungswinkel phi1 und phi2 der Asymptoten
Bedingungsgleichungen für die genannte Parallelität:
i.
phi = - phi + ¼ Pi, daraus
phi = phi1 = Pi / 8
ii.
phi = - phi + ¼ Pi + Pi, daraus
phi = phi2 = 5 Pi / 8
Ermittlung der Steigungen m1,m2 der Asymptoten
m1 = tan (Pi/8) = sqrt(2) - 1
m2 = tan (5Pi/8) = - sqrt(2) - 1
Die Asymptoten selbst gehen durch den Mittelpunkt
M der Hyperbel, der mit dem Mittelpunkt der
Verbindungsstrecke der Büschelzentren OE übereinstimmt.
Es gilt, wie erwähnt, M(½ / 0).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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