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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4489
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Oktober, 2004 - 18:26: | 
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Hi allerseits.
In der Aufgabe LF 488 geht es darum,
durch zwei projektive Geradenbüschel einen Kreis
zu erzeugen.
Die projektiven Büschel haben ihre Zentren im Nullpunkt O
und im Einheitspunkt E(1/0) der x-Achse.
Die Büschelgeraden des ersten Büschels drehen sich mit
konstanter Winkelgeschwindigkeit im positiven Drehsinn um O,
die Geraden des zweiten Büschels tun dasselbe, gehen aber
um den Winkel ¼ Pi voraus.
Genauer,
Erstes Büschel: Richtungswinkel phi der Geraden g:
phi = t.
Zweites Büschel Richtungswinkel phi der Geraden h:
phi = t + ¼ Pi
Man ermittle die Ortskurve c des Schnittpunktes S
von g und h.
Von c sind eine Parameterdarstellung aufzustellen
und die Hauptdaten anzugeben.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1642
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Oktober, 2004 - 20:04: |
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Hi megamath,
hier meine Lösung(?):
g: y = tan(t)*x
h: y = tan(t+pi/4)*x - tan(t+pi/4)
Nun benutzt man:
tan(t+pi/4) = (tan(t)+1)/(1-tan(t))
Dann ergibt sich S zu:
x = (sin(t)+cos(t))*cos(t)
y = (sin(t)+cos(t))*sin(t)
Was auch gleich die Gesuchte Paramterdarstellung ist.
Eliminiert man t so erhält man:
(x - 1/2)^2 + (y - 1/2)^2 = 1/2
Einen Kreis mit M ( 1/2 | 1/2) und r = 1/2*sqrt(2). Man sieht das der Kreis c durch die beiden Zentren läuft!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4491
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Oktober, 2004 - 20:45: |
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Hi Ferdi
Deine Lösung ist perfekt!
Danke!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4492
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Oktober, 2004 - 20:54: |
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Hi allerseits
Eine Zusatzaufgabe:
Es gelingt leicht, mit den Mitteln der
projektiven Geometrie die Tangenten der
Ortskurve in den Büschelzentren O und E
zu finden. Man versuche es.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1643
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Oktober, 2004 - 00:50: |
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Hi megamath,
dies sind die Geraden:
O: y = -x
E: y = x-1
Im Falle O ist dies eine Gerade aus dem Büschel g und zwar für t = -pi/4!
Im Falle E ist dies eine Gerade aus dem Büschel h und zwar für t = 0!
Oder wie soll man hier projektive Geometrie anwenden?
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4493
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Oktober, 2004 - 09:30: |
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Hi Ferdi
Hier hilft ein Satz aus der projektiven Geometrie
weiter, auf den ich später in einer neuen LF-Aufgabe näher eingehen werde.
Die Hauptrolle spielt dabei die Verbindungsgerade der beiden Büschelzentren O und E.
Bild bezw Urbild sind jeweils Tangenten in den Zentren.
Gemäß Deiner Ausführungen haben diese Tangenten die Steigung -1 in O und 1 in E.
Damit ist diese Aufgabe elegant gelöst.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4494
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Oktober, 2004 - 09:32: |
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 488 lässt sich mit einfachen Sätzen
der Planimetrie auch ganz elementar lösen.
Die im Aufgabentext genannte Gerade h schneide die
x-Achse in H.
Auf das Dreieck OHS wenden wir den Außenwinkelsatz
bezüglich der Ecke H an.
Sei omega der Innenwinkel dieses Dreiecks bei S.
Der Innenwinkel bei O ist phi.
Für den Außenwinkel psi bei H gilt einerseits
psi = phi + ¼ Pi;
andrerseits nach dem Außenwinkelsatz
psi = phi + omega,
Daraus entspringt:
omega = ¼ Pi = constans.
Nun kommt der Peripheriewinkelsatz zum Zug.
Die gesuchte Ortskurve ist der „Fasskreis“
für den Winkel 45° mit der Strecke OE
als Sehne.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4495
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Oktober, 2004 - 09:33: |
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Hi allerseits
Auch die Zusatzaufgabe lässt sich elementar lösen.
Die gesuchten Winkel der Kreistangenten in O und E mit derx-Achse erscheinen als so genannte Sehnentangentenwinkel; diese stimmen mit dem
Peripheriewinkel 45° überein.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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