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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4484
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Oktober, 2004 - 11:44: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe 487 lautet:
Gegeben sind 4 Geraden a,b,c,d durch ihre Gleichungen
a : y = 0
b : y = x
c : y = sqrt(3) x
d : : y = m x
Man bestimme m so, dass das Doppelverhältnis der
vier Geraden a,b,c,d (diese Reihenfolge)
-1 beträgt.
Man berechne zur Kontrolle das DV der vier Strahlen
mit Hilfe der Formel
DV (abcd) = sin(ac) / sin(cb) : sin(ad) / sin(db)
Dabei ist (ab) der mit Vorzeichen versehene Winkel
der Geraden a und c in dieser Reihenfolge;
analoges gilt für die anderen Winkel.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4485
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Oktober, 2004 - 11:46: |
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Hi allerseits
Es folgen ein paar Ergänzungen zum Doppelverhältnis.
von vier Geraden eines Büschels.
Es seien zunächst drei Strahlen a,b,c, die vom gemeinsamen
Punkt G ausgehen, gegeben.
Die Winkel der Strahlen im erwähnten Sinn seien
der Reihe nach (ab) und (cb)
Wir berechnen das Verhältnis u der Abstände h , k
eines Punktes C auf c von den Stahlen a bzw. b.
Zu diesem Zweck legen wir die senkrechten Geraden
p und q durch C zu a bzw. zu b;
p schneidet a in A´ und b in B´.
Der Abstand der Punkte G und C sei r.
Dann gilt: h = r sin (ac), k = r sin (cb), somit
u = sin (ac) / sin (cb). unabhängig von der Lage
des Punktes C auf c.
Dieses Verhältnis wird als Teilverhältnis des Strahls c
bezüglich der Grundstrahlen a und b bezeichnet.
Nun nehmen wir einen vierten Strahl d mit G
als Anfangspunkt und bilden das Teilverhältnis v
des Strahls d bezüglich der Grundstrahlen a und b ;
es gilt aus Analogie:
v = sin (ad) / sin (db)
Der Quotient u / v liefert dann das Doppelverhältnis
der vier Strahlen abcd, welches zugleich das DV
der vier Geraden durch G ist:
DV (abcd) = sin(ac) / sin(cb) : sin(ad) / sin(db)
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Mehr davon. in einer Fortsetzung
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4486
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Oktober, 2004 - 11:50: |
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Hi allerseits
Die in meiner letzten Arbeit erwähnte Sinusdarstellung
des DV von vier Geraden eines Büschels wird bedeutungsvoll,
wenn wir von den bekannten Gleichungen von Geradenbüscheln
aus gehen, wie wir später sehen.
In der Praxis berechnen wir das DV von vier Geraden eines Büschels,
indem wir vom Satz Gebrauch machen, dass das DV von vier Punkten einer Geraden eine Invariante bei Zentralprojektion ist.
Zwischen dm Doppelverhältnis in einer Punktreihe
und dem DV in einem Büschel besteht die folgende
grundlegende Beziehung:
Werden vier Geraden a,b,c,d eines Büschels von einer
Geraden g in den Punkten A,B,C,D geschnitten,
so ist
DV (abcd) = DV (ABCD)
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1638
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Oktober, 2004 - 15:18: |
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Hi megamath,
ich komme am Ende meiner Berechung zu folgender Gleichung:
-sqrt(3)/[sqrt(2 - sqrt(3))] = sqrt(2)*m/(m-1)
oder:
m = sqrt(3)/(2*sqrt(3) - 1)
Ein altbekanntes Ergebniss!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4488
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Oktober, 2004 - 18:22: |
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Hi Ferdi
Auch dieses Ergebnis ist richtig!
In einer ausführlichen Herleitung des Resultats sollten
vielleicht auch die Winkel
( a c ), ( c b ) , ( a d ) , ( d b )
angegeben und die Herkunft der involvierten
goniometrischen Gleichung erklärt werden.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1641
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Oktober, 2004 - 18:42: |
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Hi megamath,
kein Problem:
Steigung von a : tan(a) = 0
Steigung von b : tan(b) = 1
Steigung von c : tan(c) = sqrt(3)
Steigung von d : tan(d) = m
Nun gibt es die legandäre Formel für den Schnittwinkel p zweier Geraden g[Steigung tan(g)] und h[Steigung tan(h)]:
tan(p) = [tan(h) - tan(g)]/[1+tan(g)*tan(h)]
Wir müssen diese Winkel dann nur noch durch den Sinus ausdrücken und zwar mit:
sin(x) = tan(x)/sqrt(1+tan(x)^2)
Dann erhält man:
sin(ac) = -1/2*sqrt(3)
sin(cb) = 1/2*sqrt(2-sqrt(3))
sin(ad) = -m/sqrt(1+m^2)
sin(db) = (m-1)/sqrt(1+m^2)
Setzen wir alles ein und verlangen wie gesagt, DV = -1
-sqrt(3)/sqrt(2-sqrt(3)) * -(m-1)/sqrt(2)*m = -1
oder
sqrt(2)*m/(m-1) = -sqrt(3)/(sqrt(2-sqrt(3)))
mit m = sqtr(3)/(2*sqrt(3) - 1)
tan(d) = sqtr(3)/(2*sqrt(3) - 1)
d = arctan(sqtr(3)/(2*sqrt(3) - 1))
Damit sind wir wieder bei der Lösung der goniomerischen Gleichung. Ob man die Gleichung hier direkt einbauen kann weiß ich nicht...
mfg
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4490
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Oktober, 2004 - 20:41: |
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Hi Ferdi
Jetzt ist alles klar,sogar Allen alles klar!
Vielen Dank.
MfG
H.R.Moser,meganmath |
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