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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4465
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Oktober, 2004 - 18:25: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe 482 lautet:
Gegeben sind die beiden quadratischen Gleichungen
a1 x^2 + 2 b1 x + c1 = 0, Lösungen x1, x2
a2 x^2 + 2 b2 x + c2 = 0 , Lösungen x3, x4
(alle vier Werte xj seien voneinander verschieden).
Die Lösungen werden als Abszissen von vier Punkten
P1,P2,P3,P4 auf der x-Achse aufgefasst.
Unter welchen Bedingungen sind diese vier Punzte
in harmonischer Lage?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1629
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Oktober, 2004 - 19:32: |
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Hi megamath,
wir hatten doch mal eine Formel hergeleitet vor kurzem, sie steht in meinen Unterlagen: Es liegt eine harmonische Punktgruppe wenn
(x1+x2)*(x3+x4)–2x1x2–2x3x4=0
gilt! Oder soll das noch durch a1, a2 etc ausgedrückt werden?
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4466
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Oktober, 2004 - 21:01: |
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Hi Ferdi
Habe ich damals doch schon etwas zuviel verraten!
Ja,so ist die Aufgabe gemeint: wir erhalten eine Beziehung in den sechs Koeffizienten!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4467
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Oktober, 2004 - 08:18: |
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Hi allerseits
Ein rettender Gedanke zur Lösung der Aufgabe LF 482:
Man benütze eine schon früher mitgeteilte Formel, gültig bei
harmonischer Lage der vier Punkte Pj (xj), j = 1..4;
confer Hinweis zu LF 475.
Die Formel lautet:
(x1+x2)*(x3+x4) – 2 * x1 x2 – 2 * x3 x4 = 0
Das Resultat lautet:
s12 = a1*c2 + a2*c1 – 2 b1*b2 = 0
Der Term s12 wird aus bestimmten Gründen
Simultaninvariante der quadratischen Formen
a1 x^2 + 2 b1 x + c1
a2 x^2 + 2 b2 x + c2
genannt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4470
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Oktober, 2004 - 20:01: |
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Hi allerseits
Es fehlt noch ein Glied in der Beweiskette !
MfG
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1632
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Oktober, 2004 - 22:48: |
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Hi megamath,
nur ganz kurz: vielleicht meinst du diese Lücke im Beweis:
Nach Vieta gilt:
(x+x1)*(x+x2) = x^2 + (x1+x2)x + x1x2
(x+x3)*(x+x4) = x^2 + (x3+x4)x + x3x4
Normiert man die gegebenen Gleichungen so das vor x^2 eine 1 steht, so erhält man:
(x1+x2) = 2b1/a1 ; x1x2 = c1/a1
(x3+x4) = 2b2/a2 ; x3x4 = c2/a2
Setzt man das in die Relation
(x1+x2)*(x3+x4)–2x1x2–2x3x4=0
ein, so erhält man:
4b1b2/(a1a2) - 2c1/a1 - 2c2/a2 = 0
oder Nenner wegschaffen und alles auf die rechte Seite bringen:
a2c1 + a1c2 - 2b1b2 = 0
q.e.d.
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4471
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Oktober, 2004 - 08:21: |
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Hi Ferdi
Jetzt ist alles ok !
MfG
H.R.Moser,megaamth |
