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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4462
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Oktober, 2004 - 13:10: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 481 bezieht sich auf das projektive
Geradenbüschel der Aufgabe LF 480.
Die Büschelgleichungen lauten:
G1: ( t – 1 ) x – t y + t = 0
G2: x – 2 t y – 2 t = 0
t ist gemeinsamer Parameter und stellt die Verknüpfung zwischen den einzelnen Büschelgeraden her.
Zu einem gegebenen t-Wert gehört die Gerade g1 aus Büschel G1 und die Gerade g2 aus dem Büschel G2
als Bildgerade.
Aufgabe
Welches ist die Ortskurve des Schnittpunktes der
einander zugeordneten Geraden g1 und g2,
wenn t alle reellen Zahlen durchläuft.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1628
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Oktober, 2004 - 17:09: |
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Hi megamath,
ich erhalte eine Gerade als Ortskurve.
x - 3y - 1 = 0
Kann das sein? Wenn ja schreibe ich bei Gelegenheit mehr zu diesem Thema :-)
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4463
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Oktober, 2004 - 18:17: |
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Hi Ferdi
Die Gleichung ist richtig.
Wir erwarten gerne Deinen Bericht.
Bereits wartet die gewichtige Aufgabe
LF 482 auf ihren Stapellauf.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1630
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Oktober, 2004 - 19:58: |
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Hi,
man berechnet leicht den Schnittpunkt zweier zugeordneter Geraden als:
x = -4t/(2t-3)
y = (1-2t)/(2t-3)
Man sieht:
t = 3x/(2x+4)
Das in y liefert sofort:
y = (x - 1)/3
x - 3y - 1 = 0
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4468
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Oktober, 2004 - 14:21: |
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Hi Ferdi
Wir sollten eine Kurve zweiter Ordnung bekommen.
Das haben wir schon, wenn wir die Verbindungsgerade Z1 Z2 der Büschelzentren hinzunehmen.
Diese Gerade hat die Gleichung x = 0.
Die Gleichung des in ein Geradenpaar zerfällten
KS lautet.
x^2 – 3 x y - x = 0
Allgemeine Bemerkungen zum Thema.
Wenn die Gerade Z1 Z2 sich selbst entspricht, so gehört
diese Gerade schon zum KS.
Daher ist der Rest eine Kurve erster Ordnung, also eine Gerade.
Die beiden Büschel heißen dann perspektiv.
Allgemeiner:
Der geometrische Ort der Schnittpunkte der Paare entsprechender Geraden projektiver Büschel
ist ein Kegelschnitt, der durch die üschelzentrten Z1,Z2
geht und der in diesen Zentren die Geraden
u = v´ zu Tangenten hat, welche dem gemeinsamen Strahl
Z1 Z2 = v = u´ entsprechen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1631
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Oktober, 2004 - 16:31: |
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Hi megamath,
da sieht man mal wo Kegelschnitte überall auftauchen...faszinierend! Die Materie erscheint unerschöpflich an Material!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4469
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Oktober, 2004 - 19:57: |
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Hi Ferdi
Du hast Recht:
ein AHA-Erlebnis folgt dem andern.
Zum Beispiel dies:
Wir verstehen endlich. warum ein KS durch fünf Punkte
allgemeiner Lage bestimmt wird!
Die fünf Punkte seien P1,P2,P3,P4,P5.
Zwei davon zeichnen wir aus und befördern sie
zu Zentren zweier Geradenbüschel:
Seien P1 = Z1, P2 = Z2 diese favorisierten Punkte.
Wir bilden
a = Z1 P3, a´= Z2 P3
b = Z1 P4, b´= Z2 P4
c = Z1 P5, c´= Z2 P5
Wir haben drei Paare sich entsprechender Geraden,
welche eine Projektivität der beiden Büschel bestimmen und die Angelegemheit kommt in Fahrt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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