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Lockere Folge 480 : Zwei projektive G...

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4461
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 01. Oktober, 2004 - 13:04:   Beitrag drucken

Hi allerseits



Die Aufgabe LF 480 bezieht sich auf zwei projektive
Geradenbüschel.

Die Büschelgleichungen lauten:
G1: ( t – 1 ) x – t y + t = 0
G2: x – 2 t y – 2 t = 0

t ist gemeinsamer Parameter und stellt die Verknüpfung zwischen den einzelnen Büschelgeraden her.
Zu einem gegebenen t-Wert gehört die Gerade g1 aus Büschel G1 und die Gerade g2 aus dem Büschel G2
als Bildgerade.

a)
Welches sind die Zentren Z1 und Z2 der beiden Büschel?

b)
Man schneide die beiden Büschel mit der x-Achse.
Die Schnittpunkte der Büschelgeraden mit y = 0
induzieren auf der x-Achse eine projektive Abbildung.
Man gebe eine Gleichung dieser Abbildung und
studiere deren Eigenschaften.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1627
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 01. Oktober, 2004 - 17:08:   Beitrag drucken

Hi megamath,

zu a)
Ist das Zentrum eines Büschels der Punkt der durch alle Geraden des Büschels geht?

Dann erhalte ich Z1: (0/1) und Z2: (0/-1)

zu b)
Ich bin mir nicht ganz sicher, ich habe:
x1 : 2t
x2 : (1-t)/t

Dann hab ich einfach:

x' = (2-x)/x

als Abbildunggleichung gesetzt! Also ich habe das so verstanden das x1 auf x2 abgebildet wird!

Die Abbildung hätte die Fixpunkte F1: x = 1 , F2: x = -2

mfg
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4464
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 01. Oktober, 2004 - 18:20:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Zu a):
Die Zentren der Büschel sind richtig!
Ich empfehle die Formulierung:
Das Zentrum Z1 des ersten Büschels liegt auf allen Geraden
des ersten Büschels oder:
alle Geraden des ersten Büschels gehen durch Z1 usw.

Zu b):
Setze in beiden Gleichungen y = 0 und eliminiere t
(verschiedene Bezeichnungen für x sind notwendig: zB x und X):

aus (1): x = t / (1- t )
aus(2): X =2t.
Daraus wird X = 2x / (1+x)
Fixpunkte xM = 0, xN = 1

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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