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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4447
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. September, 2004 - 17:37: | 
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Hi Ferdi,
Die Fixpunkte sind richtig!
Es sind dies die Punkte M(0), N(4).
Das gesuchte DV ist -1 und die genannten Punkte bilden eine harmonische Punktgruppe.
Mittelpunkt der Strecke MN : Z(2)
istneuer Nullpunkt)
Transformationsgleichungen:
x = u+2, X = U +2
aus der Abbildungsgleichung
X =2x / (x – 2) wird in den neuen Koordinaten:
U = 4 / u.
°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1619
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. September, 2004 - 22:43: |
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Hi megamath,
ich glaube hier hat sich ein Beitrag von dir verirrt...
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4449
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. September, 2004 - 08:34: |
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Hi Ferdi
Besten Dank für Deine Mitteilung!
Ich versuche, die Ordnung wieder herzustellen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4450
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. September, 2004 - 08:38: |
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 477 bezieht sich auf die vorangehende
Aufgabe LF 476.
Gegeben ist eine Punktinvolution auf der x-Achse
durch die beiden Fixpunkte
M( 0) und M(4).
a)
Man konstruiere zu einem gegebenen Punkt A der x-Achse
den Bildpunkt A´.
b)
man beweise nochmals, dass A und A´ die Punkte
M und N harmonisch teilen,
indem man von der folgenden Formel für Doppelverhältnisse Gebrauch macht:
DV ( MNA A´ ) = 1 / DV ( MNA´ A ).
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1620
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. September, 2004 - 15:31: |
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Hi megamath,
meinst du bei a) Konstruieren im Sinne von Zirkel und Lineal? Ich habe bis jetzt nämlich noch keinen Weg gefunden!
zu b)
Wenn ich:
x1 = 0 , x2 = 4 , x3 = x , x4 = X setze:
DV1 = x*(4-X)/(X*(4-x))
Wenn ich nun aber setze,
x1 = 0 , x2 = 4 , x3 = X , x4 = x
DV2 = X*(4-x)/(x*(4-X)) = 1/DV1
Ist damit bewiesen, das eine harmonische Punktgruppe vorliegt?
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4451
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. September, 2004 - 17:13: |
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Hi Ferdi
Die Aufgabe ist leichter,
als man sich denken kann; die nötigen Gedankengänge liegen nur etwas verborgen.
ad a)
Nach erfolgter Transformation in das (u,U)- System nimmt die Abbildungsgleichung die Gestallt
u * U = 4
an
(siehe Lösung der Aufgabe LF 476).
Die Abbildung ist somit nichts anderes als die Inversion am Kreis, Mittelpunkt im neuen Nullpunkt, Radius 2.
Die verlangte Konstruktion ist bekannt und mit Zirkel und Lineal durchführbar!
Anmerkung
Eine Inversion mit zwei reellen Fixpunkten
heisst hyperbolisch, im Gegensatz zu den elliptischen Inversionen, bei denen die Fixpunkte imaginär sind.
Wir werden auch die letztern kennen lernen.
ad b)
Die Schlussweise ist typisch und sehr elegant.
Beachte
Wegen der Grundeigenschaft (Symmetrie) der Inversion
DV ( MNA A´ ) = DV ( MNA´ A ) für alle A und der
allgemeinen Eigenschaft
DV ( MNA A´ ) = 1 / DV ( MNA´ A ) muss gelten
[DV ( MNA A´ )]^2 = 1 ,
also DV ( MNA A´ ) = -1
DV ( MNA A´ ) = 1 kommt aus nahe liegenden Gründen
nicht in Frage.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1621
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. September, 2004 - 17:54: |
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Hi megamath,
ich habe mal geschaut und habe nur diese Skizze gefunden.
P' ergibt sich als Schnittpunkt der Polaren von P bezüglich k mit der Geraden MP. Ebenso können wir ja in unsrem Beispiel vorgehen, oder?
Mich wundert nur der Thaleskreis in der Skizze, könnte man P' auch damit konstruieren?
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4453
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. September, 2004 - 18:10: |
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Hi Ferdi.
In diesem Fall ist der Thaleskreis überfüßig.
Die Tangente ,die durch P´ geht, lässt sich auch ohne
ihn konstruieren.
Im rechtwinkligen Dreieck MSP entnimmt man dem
Kathetensatz:
MP * MP´ = R^2.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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