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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4444
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. September, 2004 - 20:18: | 
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Hi allerseits
In der Aufgabe LF 476 soll wiederum eine projektive Abbildung der x-Achse auf sich untersucht werden.
Gegeben ist die Abbildungsgleichung X= f(x), welche dem Punkt P(x) den Bildpunkt P´(X) zuordnet.
Zwischen X und x besteht die bilineare Beziehung:
x * X - 2* x + b * x = 0
a)
wie ist b zu wählen, damit die Projektivität eine Involution darstellt
Eine Involution liegt vor, wenn bei einer projektiven Abbildung einer Punktreihe auf sich die entsprechenden Elemente vertauschbar sind.
Für alle Punkte P gilt dann:
Wenn P´ das Bild von P ist, dann ist das Bild von P’
wiederum P (Rückkehr des verlorenen Sohns).
b)
Man bestimme die Fixpunkte M und N der Abbildung.
c)
Man berechne das Doppelverhältnis (MNPP´) der folgenden vier Punkte:
der beiden Fixpunkte, des Originalpunktes P und des Bildpunktes P´.
Wir stellen fest, dass dieses DV für alle Werte von x
konstant ist.
d)
Der Mittelpunkt Z der Strecke MN sei neuer Nullpunkt eines parallel verschobenen Systems; die neuen Abszissen seien u und U.
Wie lautet die Gleichung der vorliegenden Abbildung,
ausgedrückt durch U und u?
Man berechne nochmals das DV (MNPP´).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1616
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. September, 2004 - 21:25: |
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Hi megamath,
ich rechne nun schon länger und finde nich in diese Aufgabe hinhein...
zu a)
Es muss doch also gelten f(f(x)) = x, oder habe ich das falsch verstanden? Ich komme aber dann mit der oben angegebenen Funktion immer auf 0=0, kann also b nicht bestimmen...
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4445
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. September, 2004 - 09:28: |
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Hi Ferdi
Entschuldigung:
Leider habe ich in der Aufgabenstellung einen Druckfehler
übersehen.
Es muss richtig so heissen:
Zwischen X und x besteht die Beziehung:
x * X - 2* x + b * X = 0
Die bilineare Form muss bei einer Involution
in x und X symmetrisch sein und lautet allgemein so:
a x X + b (x + X) + d = 0 mit ad – b^2 ungleich null.
In unserem Fall muss somit b = - 2 gelten;
die Ungleichung ist erfüllt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1617
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. September, 2004 - 15:53: |
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Hi megamath,
dann habe ich nun folgende Ergebnisse anzubieten:
zu b)
Sei wieder X = x:
x^2 - 4x = 0
x = 0 oder x = 4
M = 0, N = 4
zu c)
Ich erhalte als DV: - 1
Sind die Punkte also harmonisch?
zu d)
Ich erhalte neu:
U = 4*(u-3)/(u-4)
M ist dann 2 und N ist 6.
Das Dv bleibt bei -1.
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4446
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. September, 2004 - 17:32: |
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Hi Ferdi,
Die Fixpunkte sind richtig!
Es sind dies die Punkte M(0), N(4).
Das gesuchte DV ist -1 und die genannten Punkte bilden eine harmonische Punktgruppe.
Mittelpunkt der Strecke MN : Z(2)
istneuer Nullpunkt)
Transformationsgleichungen:
x = u+2, X = U +2
aus der Abbildungsgleichung
X =2x / (x – 2) wird in den neuen Koordinaten:
U = 4 / u.
°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1618
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. September, 2004 - 18:06: |
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Hi megamath,
ich hab meinen Fehler gefunden!
Ich habe fälschlicherweise mit X = U - 2 gerechnet!
mfg |
