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Lockere Folge 474 ; Eine Determinante...

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4436
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. September, 2004 - 17:08:   Beitrag drucken

Hi allerseits



Zur Abwechslung erscheint mit der Aufgabe LF 474 eine
Determinantenaufgabe.
Das Ergebnis werden wir in einer LF-Aufgabe benötigen,
in welcher die Punktinvolution eine Rolle spielt.

Die Aufgabe lautet.
Gegeben ist die (3,3)-Matrix A Zeile um Zeile:
A:= matrix([[x1*X1,x1+X1,1],[x2*X2,x2+X2,1],[x3*X3,x3+X3,1]]);
die sechs Parameter x1,x2, x3,X1,X2,X3 sind gegebene reelle Zahlen,
die der Reihe nach als Abszissen der Punkte P1,P2,P3,P’1,P’2,P´3
auf der x-Achse auftreten; es gilt also Pi(xi), P’(Xj), i = 1..3, j = 1..3.

Man berechne die Determinante Z = det(A).
Das Resultat ist mit Hilfe der sechs Differenzen
X2-x1,X3-x2,X1-x3,x2-X1,x3-X2,x1-X3
darzustellen und entsprechend zu deuten.


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1612
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. September, 2004 - 23:25:   Beitrag drucken

Hi megamath,

ich habe Z zwar berechnen können [nach Laplace], aber ich habe sie nicht auflösen können, nach den Differenzen!

Ich bin jetzt auch zu müde. Kannst du eine kleinen Hinweis geben? Ein Stichwort? Oder liegt doch ein tiefrgründiger Trick dahinter?

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4438
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 24. September, 2004 - 10:05:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Am besten geht man heuristisch vor und betrachtet die
Determinante und ihre Entwicklung mit aller Schärfe.

Eigenschaften der Determinante:
Sie ist gegenüber den folgenden Transformationen invariant:

1.
Vertauschung der großen Buchstaben durch die kleinen und umgekehrt,
unter Beibehaltung der Nummer.

2.
Zyklische Vertauschung der Nummern.

Diese Eigenschaften weist auch die folgende Summe S auf,
in deren Summanden als Faktoren die genannten Differenzen
stehen:

S = S1 + S2 mit
S1= (X2-x1) *(X3-x2)*(X1-x3)
S2 =(x2-X1)*(x3-X2)*(x1-X3)

Durch die Transformation (1.) geht S 2 in S1 über und umgekehrt.
Durch die Transformation (2.) werden in S1 und S2 je Faktoren ausgetauscht.

Man wird nicht umhinkommen, die Probe zu machen, vielleicht hilft uns
Miss Marple dabei.


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4439
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 24. September, 2004 - 10:09:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Mit den erwähnten Masszahlen von Strecken lautet das Ergebnis:

Z = P1 P2´ * P2 P3´ * P3 P1´ + P1´ P2 * P2´ P3 * P3´ P1
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Wir werden von diesem Ausdruck bald Gebrauch machen!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1614
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 24. September, 2004 - 14:14:   Beitrag drucken

Hi megamath,

ich habe nun alles auf die schnelle mal nachgrechnet. Da hätte ich gestern abend ja lange rechnen können und wäre nicht auf das Ergebniss gekommen!

Bin schon gespannt, wie man das Ergebniss in anderen Aufgaben verwerten kann!

Jetzt muss ich aber los! Bis Montag!
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4440
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 27. September, 2004 - 09:45:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Unterdessen ist es Montag geworden, und bald erscheint ein neuer Pulk von Aufgaben
aus der projektiven Geometrie.

Die Ergebnisse der vorliegenden Aufgabe LF 474 werden wir in der Aufgabe LF 479
benötigen!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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