n-te Potenz einer Matrix

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Autor Beitrag   Tl198 (Tl198) Senior Mitglied Benutzername: Tl198 Nummer des Beitrags: 1601 Registriert: 10-2002 Veröffentlicht am Montag, den 20. September, 2004 - 16:35:    Hi: Es sei die Matrix M gegeben: M= 1 1 0 0 1 1 0 0 1 Man bestimme M^n! Nur wie macht man das? Ich habe versucht M auf Diagonalform zu bringen, nur das hat hier nicht funktioniert... Bin für jeden Hinweis dankbar! mfg   Friedrichlaher (Friedrichlaher) Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher Nummer des Beitrags: 2401 Registriert: 02-2002 Veröffentlicht am Montag, den 20. September, 2004 - 16:57:    scheint was mit Fibonaccifolgen zu tun zu haben Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]   Christian_s (Christian_s) Senior Mitglied Benutzername: Christian_s Nummer des Beitrags: 1575 Registriert: 02-2002 Veröffentlicht am Montag, den 20. September, 2004 - 17:10:    Hallo Ferdi und Friedrich Man kann die Matrix M als Produkt von Elementarmatrizen schreiben: M= 1 0 0 0 1 1 0 0 1 * 1 1 0 0 1 0 0 0 1 Multipliziert man nun eine Matrix von rechts mit M, so sieht man(Elementarmatrizen), dass 2 Operationen ausgeführt werden. 1) Die erste Elementarmatrix bewirkt, dass zur 3. Spalte die zweite addiert wird. 2) Die zweite Elementarmatrix bewirkt, dass zur 2. Spalte die erste Addiert wird. Damit kann man jetzt schon alles ablesen. m12 und m23 werden bei jeder Multiplikation um 1 erhöht. Hat man die Matrix Mn gegeben und multipliziert mit M, so wird das Element "rechts oben" um n erhöht. Alle anderen Elemente bleiben konstant. Man hat dann Mn= 1 n Sn-1 k=0k 0 1 n 0 0 1 = 1 n (n-1)*n/2 0 1 n 0 0 1 MfG Christian   Orion (Orion) Senior Mitglied Benutzername: Orion Nummer des Beitrags: 908 Registriert: 11-2001 Veröffentlicht am Montag, den 20. September, 2004 - 17:32:    Hallo, Man sieht leicht, dass Mn die Form Mn = ([1,a(n),b(n)] , [0, 1, c(n)], [0,0,1]) haben muss (lies zeilenweise). Wegen Mn+1 = M*Mn hat man die Rekursionsformeln a(n+1) = a(n) + 1 , a(1) = 1 ==> a(n) = n, b(n+1) = b(n) + a(n) = b(n) + n , b(1) = 0 => b(n) = n(n-1)/2, c(n+1) = c(n) + 1 , c(1) = 1 => c(n) = n mfG Orion   Tl198 (Tl198) Senior Mitglied Benutzername: Tl198 Nummer des Beitrags: 1602 Registriert: 10-2002 Veröffentlicht am Montag, den 20. September, 2004 - 19:29:    Hallo, besten Dank für die Lösungen. So schwer war es ja gar nicht..., vielleicht bekomme ich bald auch den Blick dafür... mfg

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