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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4394
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. September, 2004 - 13:29: | 
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Hi allerseits
Es erscheint nun als Aufgabe LF 465 eine Aufgabe,
die eine gewisse Abwechslung im Alltag bietet und
nur scheinbar mit einer der folgenden Aufgabe zum
Satz von Brianchon nichts zu tun hat.
Die Aufgabe lautet:
Gegeben ist eine Geradenschar mit a ( -inf < a < inf)
als Parameter durch die Gleichung
12 a x – (4 – 3 a^2) y = 8 + 6 a ^ 2.
Man ermittle eine möglichst einfache Gleichung der
Enveloppe der Schar.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1594
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. September, 2004 - 16:26: |
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Hi megamath,
nur mal eine Zwischenfrage:
Kommt dabei eine Kurve 3.Ornung herraus, in meiner Lösung erscheint immer y^3... Oder ist es doch etwas einfacheres??
Oder liege ich da ganz falsch? Enveloppe erhält man doch durch Elimination von a aus F(x,y,a)=0 und Fa(x,y,a)=0, also der partiellen Ableitung nach a?
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4395
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. September, 2004 - 20:32: |
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Hi Ferdi
Du bist schon auf dem richtigen Weg!
Mir ist es gleich ergangen; das sind die berühmten
Nebenwirkungen, die da aktiv werden.
Du kannst die herausfiltern durch Faktorzerlegung.
Prüfe, ob nicht der Faktor 3 x^2 + y^2 – 4 drin steckt.
Setzen wir diesen Faktor null, so erhalten wir eine alt bebannte
Ellipse, wie es sein muss.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1596
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. September, 2004 - 22:19: |
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Hi megamath,
mir kam es fast schon so vor, als würde die Ellipse gesucht, nachdem ich mir ein paar Geraden angeschaut habe!
Aber die Geraden umhüllen ja die Ellipse und nicht umgekehrt??
Naja, ihr meine Elimination der Nebenwirkungen:
F(x,y,a) = 12ax - 4y + 3a^2y - 8 - 6a^2
Fa(x,y,a) = 12x + 6ay - 12a ==> a = 2x/(2-y)
Setze ich a in F(x,y,a) ein:
12x*(2x/(2-y)) - 4y + 3(2x/(2-y))^2y - 8 - 6(2x/(2-y))^2 = 0
6x^2 - 3x^2y + 4y + 2y^2 - y^3 - 8 = 0
3x^2(2-y) + y^2(2-y) -4(2-y) = 0
(2-y)*[3x^2 + y^2 - 4] = 0
Wir haben also die bekantte Ellipse:
3x^2 + y^2 - 4 = 0
und deren Tangente y = 2, wie ist deren Gleichung zu bewerten? Ein Nebenprodukt?
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4397
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. September, 2004 - 07:00: |
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Hi Ferdi
Deine Lösung ist perfekt!
Die Enveloppe zerfällt in die legendäre Ellipse
und eine Gerade, eine spezielle Tangente der Ellipse.
Beide Teile sind gleichberechtigt; im Folgenden
gilt unser Interesse natürlich der Ellipse.
Das Phänomen der Zerlegung tritt bei der Ermittlung
von Enveloppen häufig auf.
Wir treten ihm gefasst und gut vorbereitet entgegen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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