| Autor |
Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4373
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. September, 2004 - 08:19: | 
|
Hi allerseits
Die nächsten Aufgaben der LF - Serie beziehen sich auf den Satz von
Pascal bei Kegelschnitten.
Dieser Satz lautet:
die Schnittpunkte der Gegenseiten eines einem
Kegelschnitt (KS) einbeschriebenen Sechsecks liegen auf einer Geraden,
der Pascalgeraden p des Sechsecks.
Wir bezeichnen die Ecken mit den Ziffern 1 bis 6.
Die Seiten 12 und 45 schneiden sich in Q
die Seiten 23 und 56 schneiden sich in R
die Seiten 34 und 61 schneiden sich in S
Dann liegen P , Q , R auf p.
Aufgabe LF 462:
Gegeben sind die fünf Punkte
P1 (1/-1), P2 (-1/-1), P3 (-1/1), P4 (1/1), P5 (0/-2).
Diese Punkte bestimmen einen KS c.
Man lege durch P5 eine Gerade g mit der Steigung m und
ermittle mit Hilfe des Satzes von Pascal den Schnittpunkt P6
von g mit c bei Verwendung des Sechsecks P1 P2 P3 P4 P5 P6
(diese Reihenfolge der Ecken).
a) Man bestimme P6 durch Konstruktion (Wahl: m = 1).
b) Man berechne die Koordinaten x6, y6 von P6 als
Funktionen von m.
Wie lautet die Gleichung der Pascalgeraden p?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4374
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. September, 2004 - 09:32: |
|
Hi allerseits
Eine hübsche Illustration zum Satz von Pascal findet man hier bei Google:
http://www.kanti-so.so.ch/kanti2002/fachschaften/Mathematik/zirkel/pascal.html
Anmerkung: kanti-so bedeutet: Kantonsschule Solothurn (Schweiz)
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4375
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. September, 2004 - 14:46: |
|
Hi allerseits
Es folgt eine grundsätzliche Bemerkung zu den Konstruktionen
mit dem Satz von Pascal
(Analoges gilt auch für den Satz von Brianchon):
Es lassen sich damit nur Aufgaben ersten Grades lösen, da
ausschliesslich Punkte verbunden und Geraden geschnitten werden.
Das gibt, in der Sprache der Algebra, lineare Gleichungen.
Probleme, die auf Gleichungen höheren Grades führen, lassen sich
mit den genannten Sätzen nicht lösen.
Wohl kann ein KS, wie in der vorliegenden Aufgabe, mit einer
Geraden g geschnitten werden, wenn sie durch einen gegebenen Punkt
geht; hat g aber allgemeine Lage, so führen die Methoden mit Pascal
und Brianchon nicht zum Ziel, ebenso wenig gelingt damit z.B. die
Konstruktion der Asymptoten eines durch fünf Punkte bestimmten KS.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1591
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. September, 2004 - 16:14: |
|
Hi megamath,
im Moment habe ich nicht so viel Zeit, aber ich werde die Aufgabe mir morgen abend zu Gemüte führen.
Nicht das du denkst, niemand interessiert sich...
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4376
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. September, 2004 - 16:40: |
|
Hi Ferdi
Besten Dank für die Mitteilung !
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4377
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. September, 2004 - 14:21: |
|
Hi allerseits,
Wer einen Blick auf die Lösung der Teilaufgabe b)
werfen möchte, schaut bei der Aufgabe
LF 453 nach!
Bei der Teilaufgabe a) wähle man m = ½
statt m =1.
Einheit: 2 cm.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1592
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. September, 2004 - 17:39: |
|
Hi megamath,
also ich habs jetzt mal versucht,
erst mal nur die Skizze, wenn die OK ist kommt der Rest! Habe auch gleuich mal den Kegelschnitt mit reingenommen, sieht, denke ich, besser aus!
Ich könnte dir auch sagen warum du m=1/2 sagst und nich m=1, dann käme man nämlich meiner Meinung nach wieder zu P1!
Jetzt habe ich P6( ~0,6 / -1,7 )
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4379
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. September, 2004 - 18:26: |
|
Hi Ferdi
Das stimmt alles bestens,inklusive
Deine Bemerkung versus die Steigung m = 1.
Meine Anerkennung für die schöne Skizze!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4382
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. September, 2004 - 07:14: |
|
Hi allerseits
Skizze einer Lösung der Aufgabe LF 462
Zu a):
Die gegebenen Punkte seien der Reihe nach mit
den Ziffern 1 bis 5 bezeichnet, der gesuchte Punkt
trägt die Bezeichnung 6.
Die gegebene Gerade g ist dann die Verbindungsgerade 5-6
Wir schneiden die Verbindungsgeraden 1–2 und 4-5 im Punkt Q;
wir schneiden die Verbindungsgeraden 2–3 und 5-6 im Punkt R.
Die Punkte QR bestimmen die Pascalgerade p.
Die Verbindungsgerade 3-4 schneidet p in S.
Durch S geht auch die Verbindungsgerade 6–1.
Damit finden wir 6 als Schnittpunkt der beiden
Geraden S-1 und g.
Für die Steigung m = ½ bekommen wir als Näherung
für den Punkt P6:
x6 ~ 0,62 , y6 ~ - 1,69.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4383
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. September, 2004 - 09:00: |
|
Hi allerseits
Skizze einer Lösung der Aufgabe LF 462
Zu b):
Wir schneiden die Verbindungsgerade 1–2 , Gleichung y = - 1 ,
mit der Verbindungsgeraden 4-5 , Gleichung y = 3 x - 2
im Punkt Q (1/3 ; -1).
Wir schneiden die Verbindungsgerade 2-3 , Gleichung x = -1 ,
mit der Verbindungsgeraden 5-6,
das ist g mit der Gleichung y = m x - 2,
im Punkt R ( - 1 / - 2 – m)
Die Punkte QR bestimmen die Pascalgerade p.
Gleichung von p :
3 ( m +1 ) x – 4 y = m + 5.
Die Verbindungsgerade 3-4 schneidet p in S.
Gleichung von 3–4: y = 1;
Koordinaten von S:
xS = (m+9) /{3(m+1)} , yS =1
Durch S geht auch die Verbindungsgerade 6–1.
Wir finden den Punkt 6 als Schnittpunkt der beiden
Geraden S -1 und g.
Somit erhalten wir x6 aus der Gleichung
(y=) 3 m x + 3x – 2m-6) / (3-m) = mx – 2
durch Auflösen nach x; es kommt:
x6 = 4 m / (m^2 + 3 ) , y6 = (2m^2 -6) / (m^2 + 3).
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4384
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. September, 2004 - 10:27: |
|
Hi allerseits
Ein Schlusswort zur Aufgabe LF 462:
Der geneigte Leser hat sicher gemerkt, dass
x6 und y6 als Parameterdarstellung der
durch die Punkte Pi (i = 1..5)bestimmten Ellipse
in der Aufgabe LF 453 bereits aufgetreten sind.
Das ist kein Zufall, sondern es war beabsichtigt!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1593
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. September, 2004 - 08:45: |
|
Hi megamath,
leider war ich aus technischen Problemen gestern nicht online! Wie ich sehe, hast du die Rachnung schon vorgeführt! Danke das du mir die Arbeit abgenommen hast!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4403
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. September, 2004 - 07:37: |
|
Hi allerseits
Eine nette Aufgabe zum behandelten Stoff
unter dieser LF-Nummer ist hier zu finden:
http://servix.mathematik.uni-stuttgart.de/~stroppel/CindUeb/cinderellaAufgaben.shtml
Man studiere insbesondere die Aufgabe Nr. 5,
welche sich auf projektive Büschel bezieht.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4407
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. September, 2004 - 19:51: |
|
Hi allerseits
Dem aufmerksamen Leser wird nicht entgangen sein,
dass bei der Aufgabe Nr 5 aus Stuttgart von der
Steinerschen Erzeugung
und von projektiven Büscheln
die Rede ist.
Aber das ist eine andere Geschichte,
auf die ich später zurückkommen werde.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
