    
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1536
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. September, 2004 - 15:59: | 
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Hallo Dagi
Sei zunächst a ein Eigenwert der linearen Abbildung T:V->V.
Dann gilt
Tv=av für geeignete v ungleich 0 aus V.
Damit gilt
Tv-av=0
<=> (T-a*1)*v=0
Hier ist mit 1 die Einsabbildung gemeint.
Also liegen Vektoren v ungleich 0 im Kern von T-a*1. Damit ist aber T-a*1 nicht invertierbar und somit ist die Determinante der Darstellungsmatrix 0. Es folgt also, dass jeder Eigenwert Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.
Jetzt müssen wir noch zeigen, dass auch jede Nullstelle des charakteristischen Polynoms ein Eigenwert ist. Sei also a eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms. Dann gilt
det(T-a*1)=0
Damit ist T-a*1 aber nicht invertierbar, also ist Ker(T-a*1)¹0
Also existieren Vektoren v ungleich 0 aus V, sodass
(T-a*1)v=0
<=> Tv=av
Damit ist alles gezeigt.
MfG
Christian |
