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Gleichung 4. Grades einfacher lösbar?

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Nuefz (Nuefz)
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Neues Mitglied
Benutzername: Nuefz

Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Montag, den 30. August, 2004 - 22:39:   Beitrag drucken

Hallo,

Ich bin bei der Berechnung eines physikalischen Problems (gekoppelte Schwingkreise) auf folgende Gleichung 4. Grades (in der komplexen Variablen x) gestoßen und wollte einmal fragen, ob hier jemand darüber bescheid weiß, ob es möglich ist, diese Gleichung irgendwie auf einfachere Art und Weise zu lösen als die endlos lange allgemeine Lösungsformel für Gleichungen 4. Grades anzuwenden:

(a + b*x + x^2)*(c + d*x + x^2) - k^2*x^4 = 0

Meine Idee war die, ob man nicht irgendwie aus den Lösungen der (wesentlich einfacher zu lösenden Gleichung)

(a + b*x + x^2)*(c + d*x + x^2) = 0

auf die Lösungen der erstgenannten Gleichung schließen könnte, oder indem man vielleicht den Term -k^2*x^4 in beide Klammern so "hineinmanscht", dass weiterhin nur das Produkt aus zwei quadratischen Termen in x nullgesetzt werden muss, wodurch man dann mit den einfachen Lösungsformeln für Gleichungen 2. Grades auskäme.

Hinweis: Ich habe keine Eile bei der Lösung dieses Problems, es handelt sich nicht um eine von einem Professor gestellte Aufgabe etc. Falls aber jemand eine Idee hat, wie man auf einfache Art die Lösungen dieser Gleichung bestimmen kann oder ein Argument dafür hat, warum eine Suche nach einem solchen "einfachen" Verfahren im allgemeinen Fall nicht wirklich erfolgreich sein kann - ich wäre für jede nützliche Information dankbar.

Grüße,
Nuefz
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Niels2 (Niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1230
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 31. August, 2004 - 11:54:   Beitrag drucken

Hi Nuefz,

wenn du die Formel für die Lösungen von Gleichungen 4. Grades herleitest, wirst du sehen das es in der Tat darauf hinausläuft Gleichungen 4. Grades in 2 Gleichungen 2. Grades zu zerlegen und somit das "perfect square" zu finden.

Es gibt sogar ein "Verfahren" wo man die Lösungen einer Gleichung 4. Grades auf das lösen von 5 Gleichungen reduzieren kannst. Nämlich eine Gleichung 3. Grades (kubische Resolvente) und 4 quadratische Gleichungen.

Gruß N.
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Nuefz (Nuefz)
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Junior Mitglied
Benutzername: Nuefz

Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 31. August, 2004 - 12:27:   Beitrag drucken

Hallo Niels2,

Danke für den Tipp, nun ist mir wieder die Erinnerung an einen Beitrag gekommen, der einmal vor vielen Monaten (oder waren es nicht vielleicht schon mehr als eineinhalb Jahre...) von Dirk zum Thema Gleichungen 4. Grades geschrieben wurde, den ich mir damals extra abgespeichert und nun wieder gefunden habe, und wo eben genau das von dir erwähnte Verfahren (mit dem Zurückführen auf quadratische Gleichungen mittels kubischer Resolvente) ausführlich durchgerechnet wurde.
Ich werde mir dieses Verfahren nun nocheinmal ansehen - vielleicht kann man ja an gewissen Stellen dann angesichts der speziellen Form meiner Gleichung gewisse Vereinfachungen treffen...

mfg
Nuefz
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Nuefz (Nuefz)
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Junior Mitglied
Benutzername: Nuefz

Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 31. August, 2004 - 16:59:   Beitrag drucken

Mein Versuch, diese Gleichung nach dem allgemeinen Verfahren für Gleichungen 4. Grades zu lösen, brachte mich leider nicht auf einfachere Formeln als für die gewöhnliche, normierte Form der Gleichung 4. Grades ... übrigens glaube ich dafür nun auch die Begründung zu kennen, denn wenn man bei meiner Gleichung alle Klammern ausmultipliziert und gleiche Potenzen in x zusammenfasst, und letzendlich durch (1 - k^2) dividiert, kommt man auf die Normalform

x^4 + p*x^3 + q*x^2 + r*x + s = 0,

und die vier Variablen p, q, r und s hängen von den FÜNF Variablen a, b, c, d und k ab - das bedeutet, sofern alle Gleichungen des entstehenden Gleichungssystems unabhängig voneinander sind (und danach sieht es auf der ersten Blick einmal aus, würde ich meinen - nährere Untersuchungen wären jedoch aufgrund der Nichtlinearität des Gleichungssystems aufwendig), dass jede beliebige Wertekombination für p, q, r und s durch bestimmte Werte für a, b, c, d und k realisiert werden kann (wobei aufgrund der Überzahl der Variablen (fünf gegen vier) sogar noch ein Freiheitsgrad besteht). Das heißt also, dass - trotz der ungewohnten Form meiner Gleichung - diese eine allgemeine Form einer Gleichung 4. Grades darstellt und sich daher ohne zusätzliche Relationen und Bedingungen für die Variablen a, b, c, d und k also auch keine nennenswerten Vereinfachungen (abgesehen vielleicht jetzt davon, dass bestimmte Wurzelausdrücke niemals imaginär würden oder die Lösungsformel ein etwas anderes Aussehen hat) treffen werden lassen.

In diesem Sinne wäre für mich also die Frage, ob vielleicht irgendwelche besonderen Vereinfachungen möglich wären, weitgehend beantwortet...trotzdem danke nochmals an Niels2 für deine Hinweise und schöne Grüße,

Nuefz

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