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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4337
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. August, 2004 - 09:30: | 
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Hi allerseits
Mit der Aufgabe LF 456 kehren wir zu den zentral kollinearen
Abbildungen zurück.
Die neue Aufgabe ist theoretischer Art und lautet:
Der Kreis k mit der Gleichung x^2 + y^2 = 1 wird durch eine
zentrische Kollineation, deren Zentrum Z im Kreismittelpunkt liegt,
auf einen Kegelschnitt k´ abgebildet.
Welche spezielle Bedeutung hat Z für k´ ?
Die Frage ist mit einem Satz zu beantworten und - wenn möglich -
(räumlich) geometrisch zu begründen.
Anmerkung
In den folgenden LF - Aufgaben soll die Situation rechnerisch verfolgt
werden.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4340
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. August, 2004 - 17:06: |
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Hi allerseits
Zur Einstimmung auf die Aufgabe LF 456 diene das folgende
Modell:
Der gegebene Kreis k, Mittelpunkt M = Z in der (x,y) - Ebene,
die als Grundrissebene PI dient, sei der Leitkreis eines geraden Kreiskegels
mit der Spitze S; die Gerade SM ist Kegelachse und steht auf der
Grundrissebene senkrecht.
Eine schiefe Ebene E schneidet den Kegel in der Kurve c, deren
Normalprojektion c´ auf die (x,y) -Ebene im Folgenden die Hauptrolle spielt.
c´ ist nichts anderes, als das zur Diskussion stehende kollineare Bild k´ von k.
Dabei ist Z das Kollineationszentrum!
E schneidet die Projektionsebene in der ersten Spur e, welche in der genannten
Kollineation die Rolle der Kollineationsachse spielt.
Die Parallelebene F zu E durch die Kegelspitze S schneidet PI in der
Gegenachse u, welche zum Kreissystem gehört.
Die Paralleleben G zu PI durch S schneidet die Ebene E in einer Geraden r,
deren Normalprojektion v´ auf PI die andere Gegenachse liefert.
Damit sind alle Rollen verteilt.
Die Antwort auf die gestellte Frage lautet:
das Kollineationszentrum Z, das mit dem Mittelpunkt des Kreises k
zusammenfällt, wird zu einem BRENNPUNKT des Kegelschnitts k´.
aber das ist eine andere Geschichte.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1570
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. August, 2004 - 17:30: |
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Hi megamath,
da kann ich wieder nur staunen! Auf diese Lösung wäre ich vielleicht in 6 Jahren nach meinem Studium gekommen!
Besten Dank für deine Lösung!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4341
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. August, 2004 - 19:20: |
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Hi Ferdi
Besten dank für Dein Interesse!
Der angedeutete Satz lautet im Wortlaut so:
Die Normalprojektion einer ebenen Schnittkurve
eines Rotationskegels auf die Ebene eines Leitkreises
ist eine Kurve desselben Typs wie die Schnittkurve.
Die Projektion der Kegelspitze ist ein Brennpunkt der
Projektion, und die Projektion der in der Schnittebene
liegenden Gegenachse ist die zugehörige Leitgerade,
punktum.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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