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Lockere Folge 454 : Zwei Determinante...

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4322
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 21. August, 2004 - 16:24:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Mit der Aufgabe LF 454 folgen, wie angekündigt,
zwei hübsche Determinantenaufgaben:

a) In der Determinante n-ter Ordnung D stehen in der
Hauptdiagonalen lauter Nullen (ajj = 0 für alle j);
an allen andern Stellen stehen Einsen (ajk=1 für j nicht k).
Man berechne D = D(n).

b) Für das allgemeine Element ajk in der j – ten Zeile
und k - ten Spalte der n - reihigen Determinante M steht der
Binomialkoeffizient b (j+k-2, j-1).
Man berechne den Wert der Determinante M =M(n).

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 904
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 21. August, 2004 - 18:27:   Beitrag drucken

Megamath,

a) Durch elementare Zeilenumformungen
(Subtrahiere 1.Zeile von allen übrigen, danach
addiere 1. bis (n-1)-te zur ersten) erkennt man sogleich, dass

D(n) = (-1)n-1(n-1).

b) Man subtrahiere die (j-1)-te Zeile von der j-ten Zeile,
j = n,n-1,...,1 und wende das Additionstheorem der
Binomialkoeffizienten in der Form

binom(j,k) - binom(j-1,k) =

binom(j-1,k-1)

an. Dann sieht man bald einmal, dass

D(n) = D(n-1) ==> D(n) = D(1) = 1.

mfG Orion
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4325
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 23. August, 2004 - 09:33:   Beitrag drucken

Hi Orion



Besten Dank für Deine beiden
Lösungen der Aufgaben LF 454.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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