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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4310
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. August, 2004 - 16:00: | 
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Hi allerseits
Die Aufgaben LF 450 /451 /452 beziehen sich weiterhin auf die
Konstruktion von Kegelschnitten mit Hilfe der zentralen Kollineation.
Es erscheint der Reihe nach je eine Aufgabe über die
Ellipse, Parabel und Hyperbel.
Daten werden keine gegeben; die Aufgaben sind allgemein zu lösen.
Verlangt wird ein kurzer Lösungsbericht, in dem auf die Fragen
deskriptiv eingegangen werden soll.
Die Aufgabe LF 450 lautet.
Eine zentrale Kollineation ist durch das Zentrum Z, die Achse e und die
Gegenachse u des Kreissystems gegeben.
Ein Kreis k meidet die Gegenachse u, sodass das Bild k´ des Kreises k
eine Ellipse ist.
Man beschreibe kurz und bündig
a) wie man den Mittelpunkt M´ der Ellipse findet.
b) wie man ein beliebiges Paar konjugierter Durchmesser von k´ konstruiert.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1546
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. August, 2004 - 20:52: |
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Hi megamath,
zu a) hab ich mir folgende Gedanken gemacht, nachdem ich mir meine Skizzen noch mal angeschaut habe:
Es war ja so, das der Pol P der Gegenachse u in Bezug auf k bei der Kollineation in den Mittelpunkt von k' übergeht!
Man legt nun eine Gerade durch P, diese schneidet u in S und e in T. S' ist damit ein unendlicher ferner Punkt des Strahls ZS, welcher die Steigung m hat!
Nun legen wir eine Gerade durch T mit der Steigung m! Diese schneiden wir mit dem Geraden ZP und erhalten dadurch P' = M'!
Hoffe das passt noch so...
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4312
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. August, 2004 - 09:27: |
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Hi Ferdi
Deine Lösung der Teilaufgabe a) ist in allen Teilen richtig.
Es folgen noch zwei Bemerkungen:
1.
Wir wollen annehmen, dass bei einer gegebenen Kollineation die
Konstruktion eines Bildpunktes P’ zu einem Originalpunkt P eine
Routineangelegenheit ist; sie braucht nicht jedes Mal neu beschrieben
zu werden.
Wir wollen sofort auf den Kern der Sache eintreten;
im vorliegenden Fall besteht dieser aus dem Satz:
der Mittelpunkt eines Kegelschnitts ist das Bild des Pols der
Gegenachse des Kreissystems.
2.
In der Formulierung der Aufgabe habe ich die Akzente für
die Elemente der Ellipse ( Ellipse k´, Mittelpunkt M´) reserviert;
die Elemente ohne Akzente gehören zum Kreissystem ( Kreis k )
So wird das auch sein bei meiner Lösung der Teilaufgabe b),
die nächstens folgt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4313
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. August, 2004 - 10:16: |
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Hi allerseits
Es folgt die Lösung der Teilaufgabe b)
Wir benötigen den Begriff der konjugierten Polaren:
Zwei Polaren eines Kreises sind (ex definitione) konjugiert,
wenn jede durch den Pol der andern geht.
Es gilt der Satz:
Aus konjugierten Polaren, die durch den Pol P der Gegenachse u
des Kreissystems gehen, erhält man bei der kollinearen Abbildung
ein Paar konjugierter Durchmesser..
Konkret geht das so:
Bestimme den Pol P der Gegenachse u bezüglich des Kreises k.
Lege durch P eine beliebige Gerade f.
Bestimme den Pol F von f; F liegt eo ipso auf u.
f schneidet u in G.
Konsequenz: die Gerade PF ist die Polare g des Punktes G.
f und g sind konjugierte Polaren durch den Pol der Gegenachse
Das Dreieck PFG ist ein Polardreieck bezüglich k:
jede Ecke ist Pol der Gegenseite und
jede Seite ist Polare der Gegenecke.
Weiter:
Die Gerade g schneide den Kreis k in G1 und G2,
die Gerade f schneide den Kreis k in F1 und F2
Wir erhalten mit den kollinearen Bildern der Strecken F1F2 und G1G2
das gesuchte Paar konjugierter Durchmesser der Ellipse.
Begründung
Aus der Polarentheorie folgt:
die Kreistangenten in F1 und F2 schneiden sich in F auf u,
dies bedeutet: die kollinearen Bilder dieser Tangenten sind
parallele Ellipsentangenten, ein Phänomen, das wir von
konjugierten Durchmessern bei einer Ellipse kennen.
Analoges gilt für die Kreistangenten in den Punkten G1, G2.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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