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Sjt (Sjt)
Neues Mitglied
Benutzername: Sjt
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 08-2004
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. August, 2004 - 09:38: | 
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Hallo zusammen!
Frage:
a) Wenn eine lin. Abb. eines n-dim Vektorraumes n verschiedene Eigenwerte hat, so ist sie diagonalisierbar.
Gilt hier <=> ?
b) Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind lin. unabhängig. bzw Eigenvektoren unitärer Matrizen zu verschiedenen Eigenwerten stehen senkrecht zueinander.
Heisst das EV zu versch. EW sind auf jeden Fall lin. unabhängig und nur im Fall unitärer Matrizen auch orthogonal?
c) In einem Beispiel sollte ich eine Matrix diagonalisieren. Die Matrix war bezüglich der Basis aus Eigenvektoren direkt diagonalisiert. Ist das immer so, dh. kann ich so eine Matrix immer diagonalisieren?
Danke für eure Hilfe. |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 958
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. August, 2004 - 13:22: |
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a) natürlich nicht. Die Einheitsmatrix hat zum Beispiel nur einen Eigenwert, aber ist offensichtlich diagonalisierbar.
b)
Teil 1: Ja (brauchst einen Beweis?)
Teil 2: Nein. Es gilt nur "=>"
c) Ja. Ein Eigenvektor wird ja auf ein Vielfaches von sich selbst abgebildet und somit ist in der entsprechende Spalte maximal einen Wert ungleich 0, der noch dazu in der Diagonalen liegen muss.
(Die Spalten geben ja gerade die Koeffizienten des Bildes bzgl. der Ausgangsbasis an)
Problematisch wirds nur, wenn Du keine Basis aus Eigenvektoren findest. Dann erreichst Du lediglich eine Dreiecksmatrix.
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