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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4301
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. August, 2004 - 16:31: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 449 ist ebenfalls mit Hilfe der zentralen Kollineation
zu lösen. Sie lautet:
Man konstruiere eine Hyperbel, von der eine Asymptote w,
zwei Punkte P , Q und eine Tangente t gegeben sind.
Man konstruiere den Berührungspunkt T auf t.
Daten:
w ist die x-Achse
P(3/3), Q(9/1)
t durch (2/0), Steigung - 9.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1542
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. August, 2004 - 15:47: |
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Hi megamath,
ich finde es immer recht schwierig in so eine Aufgabe zu starten.
Wir haben bisher immer anders begonnen die Kollineation aufzubauen! Daher hab ich jetzt auch kein Rezept das ich anwenden könnte, wie z.B. hier der Kreis zu wählen ist!
Gibt es überhaupt "DIE METHODE" bei der Kollineation, die man immer zuerst anwenden kann?
Google liefert auch kaum nützliches zu diesem Thema! Hat es einen schlechten Ruf??
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4302
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. August, 2004 - 07:50: |
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Hi allerseits
Hinweise zur Lösung der Aufgabe LF 449:
Als Kreis k´, auf welchen die Hyperbel kollinear abgebildet
werden soll, wähle man einen beliebigen Kreis k´ durch die
Punkte P und Q.
Die Kollineationsachse e ist dann die Verbindungsgerade
dieser Punkte.
Man beachte, dass die Hyperbel die Asymptote w
in deren unendlich fernem Punkt W inf berührt.
Mit Hilfe des Schnittpunktes E von w mit e findet man die
entsprechende Kreistangente w´ mit Berührungspunkt W´ auf k´
Man beachte ferner:
die Gegenachse v´ des Kreisfeldes ist zu e parallel
und geht durch W´.
Das Bild t´ der Tangente t ist eine Kreistangente
und schneidet diese auf der Kollineationsachse e.
Um das Kollineationszentrum Z zu bestimmen, benütze man
den Schnittpunkt S von t mit w, sowie den Schnittpunkt
S´ von t´ mit w´.
Weiter: Z liegt auf dem Kollineationsstrahl W´ W inf.
Damit ist die Kollineation vollständig bestimmt, und der
gesuchte Berührungspunkt T von t lässt sich leicht konstruieren.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1543
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. August, 2004 - 21:55: |
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Hi megamath,
man könnte nun eine Gerade durch Z und dem Berührpunkt T' von t' und k' legen. Diese schneidet die Hyperbeltangente in T!
Ich will nicht lügen, meine Skizze ist mal wieder ultraschlecht, wegen der Hektik...
Aber ich würde sagen T liegt im 4 Quadranten, round about bei ~~~(2,7/-5,6)
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4303
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. August, 2004 - 10:24: |
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Hi Ferdi
Der gesuchte Punkt T liegt „somewhere else“ !
Detaillierte Angaben folgen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4304
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. August, 2004 - 14:56: |
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Hi allerseits
Es folgen Einzelheiten zur Aufgabe LF 449
Vorneweg das Schlussresultat:
Die Koordinaten des Berührpunktes T der gegebenen Hyperbeltangente t
lauten:
xT = 1 ; yT = 9.
Das sind exakte Werte.
Im Folgenden sind Gleichungen von Geraden und Koordinaten von Punkten
teilweise nur Näherungswerte, die meiner Skizze entnommen sind,
zum Teil stecken analytisch geometrische Rechnungen dahinter,
alles ohne Gewähr; bitte kontrollieren!
Die Strecke PQ dient als ein Durchmesser des Kreises k´,
dessen Gleichung lautet:
x^2 + y^2 - 12 x – 4 y + 30 = 0
Durch Polarisation erhält man die
Polaren- und Tangentengleichung
(x1 – 6) x + (y1 – 2) y – 6 x1 – 2 y 1 + 30 = 0
Die Gerade PQ wird zur Kollineationsachse e;
deren Gleichung lautet: x + 3 y = 12.
Die Asymptote w, Gleichung y = 0, schneidet e in
E(12/0)
Die Tangente t, Gleichung y = - 9 x + 18 , schneidet e in F mit
xF=21/13 ~ 1,615 , yF = 45/13 ~ 3,462
Ermittlung einer Tangente w´ des Kreises k´ durch den Punkt E
(beachte: w´ ist die der gegebenen Asymptote w entsprechende
Gerade im Kreissystem).
Wir benützen dazu die
Polare p des Punktes E bezüglich des Kreises k´:
Gleichung von p:
y= 3 x – 21.
Wir benützen den Schnittpunkt W´von p mit k´
(beachte: W´ ist der dem unendlich fernen Punkt W inf
der Asymptote w entsprechende Punkt).
Koordinaten von W´:
xW´~ 6,634 ; yW´ ~ -1,098
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4305
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. August, 2004 - 18:12: |
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Hi allerseits
Hi allerseits
Fortsetzung zur Lösung der Aufgabe LF 449:
Wir erhalten die Kreistangente w´, welche der Asymptote w
entspricht, als Verbindungsgerade der Punkte E und W´:
Als Gleichung von w´ dient uns:
y = 0,2046 x - 2,455
Nun ermitteln wir die Koordinaten des Berührungspunktes T´
einer der Kreistangenten, die vom Punkt F(1,615 / 3,462) aus
an den Kreis gelegt werden kann; sie heiße t´ und entspricht
der gegebenen Hyperbeltangente t.
Wir benützen die Polare f des Punktes F bezüglich k´
Gleichung von f:
- 4,385 x + 1,462 y = -13,406
einfacher: y = 2,993 x - 9,170
T´ ist einer der Schnittpunkte mit k´;
Ergebnis: T´(3,225 / 0,482).
Nun finden wir die Kreistangente t´ als
Verbindungsgerade der Punkte F und T´;
Gleichung von t´:
1.851 x + y = 6.451.
Jetzt ermitteln wir die Punkte S und S´:
S ist der Schnittpunkt der Geraden w und t;
Gleichungen:
w: y = 0
t: y = - 9 x + 18
Ergebnis:S(2/0)
S´ ist der Schnittpunkt der Geraden w´ und t´;
Gleichungen:
w´: y = 0,2046 x - 2,455
t´: y = - 1,851 x + 6,451
Ergebnis: S´(4,332/-1,569)
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
Fortsetzung zur Lösung der Aufgabe LF 449:
Wir erhalten die Kreistangente w´, welche der Asymptote w
entspricht, als Verbindungsgerade der Punkte E und W´:
Als Gleichung von w´ dient uns:
y = 0,2046 x - 2,455
Nun ermitteln wir die Koordinaten des Berührungspunktes T´
einer der Kreistangenten, die vom Punkt F(1,615 / 3,462) aus
an den Kreis gelegt werden kann; sie heiße t´ und entspricht
der gegebenen Hyperbeltangente t.
Wir benützen die Polare f des Punktes F bezüglich k´
Gleichung von f:
- 4,385 x + 1,462 y = -13,406
einfacher: y = 2,993 x - 9,170
T´ ist einer der Schnittpunkte mit k´;
Ergebnis: T´(3,225 / 0,482).
Nun finden wir die Kreistangente t´ als
Verbindungsgerade der Punkte F und T´;
Gleichung von t´:
1.851 x + y = 6.451.
Jetzt ermitteln wir die Punkte S und S´:
S ist der Schnittpunkt der Geraden w und t;
Gleichungen:
w: y = 0
t: y = - 9 x + 18
Ergebnis:S(2/0)
S´ ist der Schnittpunkt der Geraden w´ und t´;
Gleichungen:
w´: y = 0,2046 x - 2,455
t´: y = - 1,851 x + 6,451
Ergebnis: S´(4,332/-1,569)
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4306
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. August, 2004 - 18:24: |
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Hi allerseits
Lösung der Aufgabe LF 449; Schluss
Wir bestimmen zum Abschluss das Kollineationszentrum Z
als Schnittpunkt der Geraden S S´ und W´ W inf.
Gerade SS´, ein Kollineationsstrahl;
Gleichung (Näherung):y = - 0,673 x + 1,346.
Kollineationsstrahl W´ W inf;
Gleichung (Näherung):
y = yW´= -1,098
Schnittpunkt Z beider:
xZ ~ 3,632 ; yZ ~ 0,482.
Der Schluss ist nahe liegend!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4307
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. August, 2004 - 09:40: |
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Hi allerseits
Betr. Aufgabe LF 449.
Es ist in meinem letzten Beitrag bei der Angabe der
y-Koordinate des Kollineationszentrums Z ein
Fehler passiert; richtig lautet diese Koordinate
yZ ~ - 1,098 ; Z liegt im 4.Quadrant!
Der falsche Wert ist die y-Koordinate des Punktes T´.
Hoffentlich hat der Fehler kein Ungemach angerichtet!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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