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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4295
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. August, 2004 - 11:09: | 
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Hi allerseits
Auch die Aufgabe LF 448 ist mit Hilfe der zentralen Kollineation zu lösen.
Sie lautet:
Man konstruiere eine Parabel, von der die Richtung der Achse, ein Punkt P
und zwei Tangenten a und b gegeben sind.
Man konstruiere die Tangente t mit P als Berührungspunkt.
Daten:
Richtung der Parabelachse:
diese Achse soll zur y-Achse parallel sein; es kommt somit
der unendlich ferne Punkt U inf der y-Achse zum Einsatz.
P(5/6,25) ,
a durch (-1/-2), Steigung 1,
b durch (-1/-2), Steigung – 2.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4296
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. August, 2004 - 11:14: |
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Hi allerseits
Hinweise zur Lösung der Aufgabe LF 448:
Als Kreis k´, auf welchen die Parabel kollinear abgebildet
werden soll, wähle man einen beliebigen Kreis, der die Geraden
a und b zugleich berührt.
Als Kollineationszentrum Z ist dann der Schnittpunkt dieser Geraden
festgelegt..
Man beachte, dass die Parabel die unendlich ferne Gerade berührt;
der Berührungspunkt ist der im Aufgabentext erwähnte Punkt U inf.
Leicht findet man den entsprechenden Punkt U´ auf k´ und damit die
Gegenachse v´ des Kreisfeldes.
Schliesslich bietet sich die Kollineationsachse e beinahe
von selber an………
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1538
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. August, 2004 - 18:06: |
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Hi megamath,
den Kreis habe ich so gwählt, das Mitelpunkt auf der x-Achse liegt! M~( -0,7 / 0 ) r ~ 1,2
U' ist nun der Schnittpunkt von ZU mit k'. Aber wie finde ich Uinf. Es ist ja schliesslich ein unendlich ferner Punkt...
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4297
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. August, 2004 - 18:35: |
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Hi Ferdi
Alle parallelen Geraden zur y-Achse gehen durch
U inf !
Ergo:
Lege durch Z die Parallele zur y-Achse und
schneide sie mit dem Kreis k in U´;
wähle den oberen Punkt auf k´.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1539
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. August, 2004 - 19:37: |
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Hi megamath,
es dauert etwas, bis man wieder in den richtigen Umgang mit dieser Materie kommt!
Also:
U' ergibt sich laut Skizze ungefähr zu (-1 / 1,1). Lege ich in diesem Punkt die Tangente, sie ist die Gegenachse! [ Gegenachse berührt Kreis --> bei Kollineation entsteht eine Parabel!] Nun ist die Achse eine Parallele zu dieser Tangente... Durch einen besonderen Punkt oder frei wählbar?
Ich könnte mir dann ja auch P' auf den Kreis zaubern, und dort schonmal die Tangente zeichnen, diese würde die Achse ja in einem Punkt schneiden. Die Tangente in P müsste ja dann auch durch diesen Punkt gehen und die Aufgabe wäre gelöst...???
mfg |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4298
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. August, 2004 - 21:01: |
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Hi Ferdi,
Diesmal ist die Kollineationsachse nicht frei wählbar!
Sie ist gemäß des letzten Abschnitts in Deinem
Lösungsbericht konstruierbar.
Ende gut!
Mich interessieren noch die numerischen Werte
der Koordinaten des Schnittpunktes Q der Tangente t in P
mit der x-Achse:Q(?/0).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4299
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. August, 2004 - 15:43: |
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Hi allerseits
Zusätzliche Hinweise zur Lösung der Aufgabe LF 448.
Der Schnittpunkt Z(-1/-2) der Parabeltangenten a und b
dient als Kollineationszentrum.
Dann sind a und b Kollineationsstrahlen und damit globale
Fixgeraden.
Wegen a = a´, b = b´ sind diese Geraden zugleich
Tangenten des zur Parabel kollinearen Kreises k´.
Der Mittelpunkt M von k´ ist auf einer der Winkelhalbierenden
von a und b frei wählbar.
Wir richten es so, dass M auf der y-Achse liegt.
Dann gilt für M näherungsweise M(0 / 4,4),
Kreisradius r ~ 3,9.
Durch Z legen wir den zur y-Achse parallelen Kollineationsstrahl;
er geht, wegen dieser Parallelität, durch den mehrfach zitierten
Punkt U inf und schneidet den Kreis k´ im Bildpunkt U´;
näherungsweise gilt: U´(- 1 / 7,7).
Die Tangente des Kreises mit U´ als Berührungspunkt ist
die 1.Gegenachse v´; auf ihr liegen alle Punkte, deren
Entsprechungen im Parabelsystem unendlich fern liegen,
U inf ist einer davon.
Die Kollineationsachse e ist zu v´ parallel.
Es genügt, einen einzelnen Punkt E (single) auf e
zu konstruieren.
Das geht am Besten so:
Zuerst bestimmen wir den Punkt P´ auf k´,
der auf dem Kollineationsstrahl ZP liegt,
P´~ (3,7 / 4,5)
Die Kreistangente t´ in P´ schneidet die Gegenachse v´
im Punkt W: W ~ (3,6 / 9)
ZW ergibt die Richtung der gesuchten Parabeltangente t
in P: t ist zu ZW parallel.
Der Schnittpunkt von t und t´ ist der erwähnte Punkt E auf e.
Schlussresultat:
t schneidet die x-Achse im Punkt Q(2,5 / 0) (exakter Wert).
Hoffentlich ist dieser ausführliche Lösungsbericht geeignet,
die Technik der zentralen Kollineation besser verstehen zu
lernen!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4300
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. August, 2004 - 16:27: |
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Hi allerseits
Im letzten Abschnitt wurde der Schnittpunkt von t´ und v´
eingeführt und mit W bezeichnet.
Konsequenter wäre die Bezeichnung mit W´.
Der dazu kollineare Punkt ist ja der unendlich ferne Punkt
der Parabeltangente t und sollte sinngemäß mit W inf
bezeichnet werden.
Dies dient dem besseren Verständnis!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1540
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. August, 2004 - 20:42: |
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Hi megamath,
du hast ja alles nötige gesagt. Leider komme ich wegen der Schichtarbeit erst jetzt zu einer Antwort!
Ich erhalte ungefähr die selben Ergebnisse. Wenn ich noch mehr Sauberkeit bei den Skizzen zeigen würde, würds bestimmt ganz passen!
mfg |
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