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Intervallschachtelung

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Cjaeger (Cjaeger)
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Junior Mitglied
Benutzername: Cjaeger

Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 05-2004
Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 12:48:   Beitrag drucken

hi, hab ein riesen problem mit der aufgabe...hab schon probiert ber komm auf kein sinnvolles ergebnis...

Seien a und b zwei reelle Zahlen mit a<b. Die Folgen (an), (bn) n€N seien rekursiv definiert durch a1=a, b1=b

an=(an-1+bn-1)/2
bn=(2an-1+3bn-1)/5

für alle n>=2

a) Beweisen Sie per Induktion, dass für alle n€N gilt an<an+1<bn+1<bn
b)Zeigen Sie, dass diese 2 Folgen konvergieren und lim an = Lim bn n-->unendl.

hab schon versucht und Ind-Vor. mit n=2 gesetzt, sodass da steht a2=(a1+b1)/2 und das gl. auch für b2=(2a1+3b1)/5 gemacht, aber komme dann nicht weiter...man kann das doch auch irgendwie mit Monotonie machen, oder?

Vielen dank im Voraus....

gruß Chris
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Mainziman (Mainziman)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 826
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 13:01:   Beitrag drucken

die ersten gleichung ist die Mittelungleichung für 2 Werte und das Mittel ist immer zwischen den beiden Werten, daher

an-1 < an < bn-1 <=> an < an+1 < bn

bn = (2an-1 + 3bn-1)/5 = (2(an-1+bn-1)+bn-1)/5
erste gleichung eingesetzt:
=> bn = (4an+bn-1)/5
und das ist nichts anderes wie das gewichtete Mittel und daher gilt unter der voraussetzung von Gleichung eins: an < bn < bn-1 <=> an+1 < bn+1 < bn

das in die erste Gleichung injiziert ergibt:

an < an+1 < bn+1 < bn

damit ist Teil a gezeigt



Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Cjaeger (Cjaeger)
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Mitglied
Benutzername: Cjaeger

Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 05-2004
Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 15:09:   Beitrag drucken

okay, erstmal vielen dank für die Hilfe, hab die Umformungen usw. verstanden, aber ne kleine Frage hab ich noch...und zwar verstehe ich die Begründung nícht ganz:


=> bn = (4an+bn-1)/5
"und das ist nichts anderes wie das gewichtete Mittel und daher gilt unter der voraussetzung von Gleichung eins: an < bn < bn-1 <=> an+1 < bn+1 < bn "

was heißt den gweichtetes Mittel? ab hier hab ic h Probleme mit den nachvollziehen, sorry....

gruß
chris
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Mainziman (Mainziman)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 828
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 15:14:   Beitrag drucken

(4an+bn-1)/5 = (an+an+an+an + bn-1)/5 <-- alles klar?
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*

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