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Cjaeger (Cjaeger)
Junior Mitglied Benutzername: Cjaeger
Nummer des Beitrags: 20 Registriert: 05-2004
| Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 12:48: |
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hi, hab ein riesen problem mit der aufgabe...hab schon probiert ber komm auf kein sinnvolles ergebnis... Seien a und b zwei reelle Zahlen mit a<b. Die Folgen (an), (bn) n€N seien rekursiv definiert durch a1=a, b1=b an=(an-1+bn-1)/2 bn=(2an-1+3bn-1)/5 für alle n>=2 a) Beweisen Sie per Induktion, dass für alle n€N gilt an<an+1<bn+1<bn b)Zeigen Sie, dass diese 2 Folgen konvergieren und lim an = Lim bn n-->unendl. hab schon versucht und Ind-Vor. mit n=2 gesetzt, sodass da steht a2=(a1+b1)/2 und das gl. auch für b2=(2a1+3b1)/5 gemacht, aber komme dann nicht weiter...man kann das doch auch irgendwie mit Monotonie machen, oder? Vielen dank im Voraus.... gruß Chris |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 826 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 13:01: |
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die ersten gleichung ist die Mittelungleichung für 2 Werte und das Mittel ist immer zwischen den beiden Werten, daher an-1 < an < bn-1 <=> an < an+1 < bn bn = (2an-1 + 3bn-1)/5 = (2(an-1+bn-1)+bn-1)/5 erste gleichung eingesetzt: => bn = (4an+bn-1)/5 und das ist nichts anderes wie das gewichtete Mittel und daher gilt unter der voraussetzung von Gleichung eins: an < bn < bn-1 <=> an+1 < bn+1 < bn das in die erste Gleichung injiziert ergibt: an < an+1 < bn+1 < bn damit ist Teil a gezeigt
Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Cjaeger (Cjaeger)
Mitglied Benutzername: Cjaeger
Nummer des Beitrags: 21 Registriert: 05-2004
| Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 15:09: |
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okay, erstmal vielen dank für die Hilfe, hab die Umformungen usw. verstanden, aber ne kleine Frage hab ich noch...und zwar verstehe ich die Begründung nícht ganz: => bn = (4an+bn-1)/5 "und das ist nichts anderes wie das gewichtete Mittel und daher gilt unter der voraussetzung von Gleichung eins: an < bn < bn-1 <=> an+1 < bn+1 < bn " was heißt den gweichtetes Mittel? ab hier hab ic h Probleme mit den nachvollziehen, sorry.... gruß chris |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 828 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 15:14: |
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(4an+bn-1)/5 = (an+an+an+an + bn-1)/5 <-- alles klar? Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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