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Lockere Folge 447 : Konstruktion eine...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Geometrie » Lockere Folge 447 : Konstruktion einer Parabel aus vier Tangenten « Zurück Vor »

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4284
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 16. Juli, 2004 - 15:39:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Es folgt die letzte LF-Aufgabe vor einer
längeren Sommerpause.
Eine schöpferische Pause kann ja nichts schaden!

Die Aufgabe LF 447 lautet:
Man ermittle einen Kegelschnitt aus fünf gegebenen
Tangenten mittels einer geeigneten
zentralkollinearen Abbildung.

Es soll ein Spezialfall dieser famosen Aufgabe
gelöst werden:
Eine der gegebenen Tangenten sei die
unendlich ferne Gerade .
Konsequenz: es entsteht eine Parabel.

Es liegt somit folgende Wendung der Aufgabe vor:
Eine Parabel ist durch vier ihrer Tangenten zu bestimmen.

Daten:
erste Tangente a durch (5/0), (7/-5)
zweite Tangente b durch (0/0), (6/-2,5)
dritte Tangente c durch (5/0), (-1/-1)
vierte Tangente d durch (0/0), (-5/-5)


Man konstruiere die Berührungspunkte A,B,C,D
auf den gegebenen Tangenten und was sonst noch beliebt.

Eine Lösungsidee kommt später!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4285
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 16. Juli, 2004 - 15:43:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Erste Hilfe bei der Einrichtung einer zentrischen Kollineation
zwischen dem KS k und einem Kreis k´.

Grundidee zur Lösung.
Wir benützen zuerst nur die im endlichen liegenden
Tangenten a,b,c,d der Parabel, welche in der Sprache
der projektiven Geometrie ein Vierseit bilden.

Wir etablieren eine zentralkollineare Abbildung folgendermassen.
Das Vierseit soll in einen Rhombus übergehen.
Der Inkeis dieses Rhombus wird als Kreis k´ fungieren, der
der zu bestimmenden Parabel k entspricht.
Wir wählen die folgenden Bezeichnungen:

a und b schneiden sich im Punkt R
c und d schneiden sich im Punkt S
a und d schneiden sich im Punkt P
b und c schneiden sich im Punkt Q

Die ersten Schritte gehen so:

Ermittlung der Gegenachse v, die zum Parabelfeld gehört.
Da das Vierseit a , b, c, d in ein Parallelogramm übergehen muss,
schneiden sich die Geraden a und c einerseits und die Geraden
b und d andrerseits in zwei Punkten, welche v bestimmen.
Wegen der Wahl der Ausgangsdaten fällt v
mit der x-Achse zusammen.

Bestimmung einer ersten Ortskurve für das Kollineationszentrums Z.
Da die Diagonalen eines Rhombus aufeinander senkrecht stehen,
liegt Z auf dem Thaleskreis mit dem Durchmesser XY.
Dabei ist X der Schnittpunkt der Geraden RS mit v,
Y ist der Schnittpunkt der Geraden PQ mit v.

Fortsetzung folgt

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4286
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 16. Juli, 2004 - 15:57:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Es folgt eine Fortsetzung als zweite Hilfe:
Es kommt die fünfte Tangente zum Zug;
die Überlegungen ergeben einen
zweiten geometrischen Ort für das
Kollineationszentrum Z.
Dieser Ort ist wiederum ein Thaleskreis.

Aber gemach!

Wir benötigen einen Satz aus der Planimetrie
Gegeben sei ein Rhombus samt Inkreis k´;
M´ ist der Mittelpunkt von k´.
a´, b´ , c´, d´ sind die Seitengeraden des Rhombus.
Eine beliebige Tangente t des Inkreises schneidet
zwei gegenüberliegende Parallelseiten b und d
des Rhombus in den Punkten J und H.

Dann wird die Strecke HJ von M´ aus unter
einem rechten Winkel gesehen, d.h.
der Winkel H M´J mit Scheitel in M´ beträgt 90°.


In unserem Fall ist die fünfte Tangente t die unendlich
ferne Gerade der Ebene des Parabelfeldes!

Der dem Mittelpunkt M´ des Kreises k´ entsprechende Punkt M ist
bekannt: es ist der Schnittpunkt der Geraden PQ und RS.
Wir sorgen nun dafür, dass der Winkel, unter dem der zwischen
b und d liegende Abschnitt der Tangente t aus M erscheint,
in einen rechten Winkel transformiert wird.
Beachte: t ist die unendlich ferne Gerade.
H ist der unendlich ferne Punkt H* der Tangente d,
J ist der unendlich ferne Punkt J* der Tangente b.

Deshalb schneiden wir die Verschwindungsgerade v
mit der Parallelen zu d durch M im Punkt K
und mit der Parallelen zu b durch M im Punkt L.

Über der Strecke KL als Durchmesser errichten
wir den Thaleskreis und schneiden ihn mit dem früher gezeichneten
Thaleskreis über XY.
Der Schnittpunkt ist das gesuchte Kollineationszentrum Z,
voilà.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4287
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 16. Juli, 2004 - 16:33:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Es folgt ein Schlussvotum:

Von der perspektiven Kollineation kennen wir bereits:
die Verschwindungsgerade v des Parabelfeldes, Gleichung y = 0
und das Kollineationszentrum Z.

Die Kollineationsachse e ist parallel zu v und darf beliebig gewählt werden.
Vorschlag: e ist die Parallele zur x-Achse mit der Gleichung y = 1.
Man transformiere a,b,c,d,M.
Der Kreis k´ mit Mittelpunkt M´ ist leicht zu finden als Inkreis
des Rhombus a´ b´ c´ d´.

Man beachte noch das Folgende:
Da k´ in eine Parabel übergeht, berührt der Kreis k´ die Gegenachse u´;
das ist die zum Kreisfeld gehörende Gegenachse !!!

Es gilt der schon einmal zitierte Satz über die gegenseitige Lage der
Element e , u , v´ . S .

PS.
Für die Zeichnung empfiehlt sich:
Blatt A4 quer, O in der Mitte, etwas nach unten verschoben,
Einheit 2 cm.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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Tl198 (Tl198)
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Nummer des Beitrags: 1524
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 16. Juli, 2004 - 21:48:   Beitrag drucken

Hi megamath,

eine Riesenaufgabe!

Hier mal meine Daten von der Skizze:

M ( 1 / -1,4 )
Z ( 1 / 2,2 )

k' : M' ( 1 / 4,75 ) , r ~ 1,5

A' ( 0,2 / 3,4 ) --> A ( 8,7 / -9,2 )
B' ( -0,4 / 5,4 ) --> B ( 2,4 / -1 )
C' ( 1,7 / 6 ) --> C ( 0,5 / -0,8 )
D' ( 2,4 / 4,1 ) --> D ( 1,4 / 1,4 )

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4288
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 07. August, 2004 - 09:44:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Zeitgemäß ausgedrückt:
Die Kernkompetenz bezüglich Deiner Lösung der Aufgabe LF 447
ist erfolgreich dargelegt!
Die Resultate sind - in nuce - i.O.
Zur Abrundung oder Aufrundung (!) empfehle ich eine Überprüfung der
Koordinaten der Berührungspunkte A,B,C,D der Tangenten a,b,c,d.

Meine Resultate:

Zentrum Z der Kollineation:
Z(1 / 2,25)
Gegenachse des Parabelfeldes v : die x-Achse
Kollineationsachse e: die Parallele zur x-Achse y = 1
(gemäß Vereinbarung).
Der zur Parabel k kollineare Kreis k' :
Mittelpunkt M' ( 1 / 4,75 ) , Radius r = 1,5.
Gegenachse u´ des Kreisfeldes, parallel zu u: y = 3,25,
k´ tangierend.

Berührungspunkte auf den gegebenen Parabeltangenten (Auswahl):
A(9,4/-10,9)
C(0,4/-0,8)

Wir werden diese Aufgabe später mit einer andern Methode
nochmals lösen und diese Schlussresultate bestätigen.

Ebenfalls später folgt eine Beschreibung des Lösungsweges
zur vorliegenden Aufgabe LF 447.


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 4290
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 07. August, 2004 - 10:21:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Es folgen ein paar Hinweise zur Lösung der Aufgabe LF 447

Zeichenblatt A4, Querformat,
Nullpunkt O : 5 cm über dem unteren Rand,
13 cm rechts vom linken Rand entfernt.
Einheit 2 cm ..

Bezeichnungen:

a und b schneiden sich im Punkt R
c und d schneiden sich im Punkt S
a und d schneiden sich im Punkt P
b und c schneiden sich im Punkt Q


Damit das Vierseit a , b, c, d in ein Parallelogramm übergeht,
muss die Gegenachse v, die zum Parabelfeld gehört, die
Verbindungsgerade der Schnittpunkte der Geraden a und c einerseits
und der Geraden b und d andrerseits sein.
Effekt: v fällt mit der x-Achse zusammen.

Bestimmung einer ersten Ortskurve für das Kollineationszentrum Z.
Da die Diagonalen eines Rhombus aufeinander senkrecht stehen,
liegt Z auf dem Thaleskreis mit dem Durchmesser XY.
Dabei ist X der Schnittpunkt der Geraden RS mit v, und
Y ist der Schnittpunkt der Geraden PQ mit v.

M sei derjenige Punkt, der dem Mittelpunkt M´ des Kreises k´
entspricht. Wir erhalten zunächst M als Schnittpunkt der Geraden
PQ und RS.

Nun soll eine zweite Ortskurve für das Kollineationszentrum
bestimmt werden.
Nach einer früheren Argumentation ist diese Ortskurve wiederum
ein Thaleskreis mit der Strecke KL auf der Gegenachse v als
Durchmesser.
Dabei gilt:
K ist der Schnittpunkt der Parallelen zu d durch M mit v;
L ist der Schnittpunkt der Parallelen zu b durch M mit v.

Schliesslich erhalten wir das Kollineationszentrum Z
als Schnittpunkt der beiden Thaleskreise um XY und um KL;
wir wählen den im ersten Quadranten liegenden Schnittpunkt
dieser Kreise.
Als Kollineationsachse dient die Parallele zur x–Achse im Abstand 1,
Gleichung y = 1.

Damit ist die zentrische Kollineation vollständig etabliert.


Fortsetzung folgt.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 4291
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 07. August, 2004 - 12:14:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Fortsetzung und Schluss der Lösungshilfen
zur Aufgabe LF 447.

Mit Hilfe der Kollineationsachse e und der Gegenachse v
werden die Träger der Rhombusdiagonalen ermittelt,
d.h. wir konstruieren die Geraden P´ Q´ und R´ S´,
welche, wie es sein muss, aufeinander senkrecht stehen
und sich in M´ schneiden.

P´Q´ und PQ schneiden sich auf e , ferner gilt:
P´Q´ ist parallel zur Geraden ZY

R´S´ und RS schneiden sich auf e , ferner:
R´S´ ist parallel zur Geraden ZX

Kontrollen:

Die Punktepaare (P,P´), (R, R´), (Q,Q´) und (S,S´)
liegen mit Z je auf einem Kollineationsstrahl.
Dasselbe gilt für das Paar (M,M´).

Die Geradenpaare (a,a´),(b,b´),(c,c´),(d,d´)
schneiden sich je auf der Kollineationsachse e.

Es ist nun an der Zeit, den zur Parabel kollinearen Kreis k´
zu zeichnen.
Wir finden k´ als Inkreis des Rhombus.
Wenn wir genau gezeichnet haben, werden wir belohnt,
indem der Rhombus wie ein Massanzug diesen Kreis umhüllt.

Die Berührungspunkte von k´ mit den vier Seiten des Rhombus
sind A´,B´,C´,D´, denen der Reihe nach die gesuchten
Berührungspunkte A,B,C,D auf den Parabeltangenten entsprechen.
Die Entsprechungen besorgen die Kollineationsstrahlen der Punkte.
Damit ist eine instruktive Aufgabe erfolgreich gelöst!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Nummer des Beitrags: 4292
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Veröffentlicht am Samstag, den 07. August, 2004 - 12:17:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Noch etwas zur Aufgabe LF 447.

Es ist reizvoll, ganz zum Schluss noch die zweite Gegenachse u´
einzuzeichnen, die parallel zur ersten Gegenachse v ist.

Als Grundlage dient der bereits früher zitierte Satz:
„Der Abstand des Kollineationszentrums Z von der einen Gegenachse u´
ist betragsmässig gleich dem Abstand der Kollineationsachse e
von der andern Gegenachse v.

Nützt man dies aus, so entsteht u´ als Tangente des Kreises k´,
wie es der hier vorliegende Fall der Parabel k erfordert.
Die Gleichung von u´ lautet:
y = 3,25.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath



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