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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4265
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juli, 2004 - 11:54: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 444:
Das bei der Lösung der Aufgabe LF 443 gezeigte Verfahren
sollte noch ein wenig geübt werden!
Gegeben ist ein KS durch die folgenden fünf Punkte
A(1/1),B(-1/2),C(-3/-1),D(4/5),E(2/-3).
Konstruiere den Mittelpunkt dieses KS.
Zusatzaufgabe:
Da es sich um eine Hyperbel handelt,
zeichne man noch die Asymptoten ein!
PS
Die Aufgabe ist rechnerisch gelöst in einem Google-Beitrag,
siehe „Kegelschnitt durch fünf Punkte“ oder
http://wwwzenger.informatik.tu-muenchen.de/lehre/vorlesungen/eipro1/ws00/BLATT3/kegel1.html
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1510
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juli, 2004 - 16:25: |
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Hi megamath,
meine Skizze bis jetzt:
X ~ ( 0 / 1,5 )
Y ~ ( - 29 / -31 )
Thales über XY: M ~ ( -11,5 / -14,7 ) , r ~ 19,9
K ~ ( -0,4 / 1 )
L ~ ( 4,9 / 8,5 )
Thales über KL: M ~ ( 2,2 / 4,8 ) , r ~ 4,6
Nun habe ich zwei mögliche Z:
Z1 ( 1,6 / 0,2 )
Z2 ( -1,8 / 2,6 )
Jetzt habe ich aber Probleme, die Punkte A', B' etc zu konstruieren. Ich habe zwar die Punkte A und B, Z und e, aber es will nicht passen. Oder muss ich hier auch die Gegenachse mit einbeziehen?
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4266
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juli, 2004 - 19:51: |
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Hi Ferdi
Ich habe die Konstruktion noch nicht ausgeführt.
Ich werde das Nötige morgen ausführen.
Die Gegenachse muss zum Einsatz kommen.
Damit sollte es gehen!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4267
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Juli, 2004 - 13:56: |
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Hi Ferdi
Ich habe Deine Daten kontrolliert; sie sind alle richtig!
Die Verschwindungsgerade v hat die Gleichung
309 x - 218 y = - 349.
Dazu ist die Kollineationsachse e parallel.
Ich habe e durch den gegebenen Punkt E gelegt;
dann gilt E´= E.
Als Kollineationszentrum wählte ich den von Dir
angegebenen Punkt Z1.
Gleichwohl ist die Konstruktion wegen der Wahl der
Ausgangsdaten nicht einfach; es gibt Punkte,
die aus dem Ruder laufen und schleifende Schnitte.
Dabei treten Ungenauigkeiten auf, die sich brav
weiterentwickeln.
Es wäre angebracht, zur genauen Zeichnung das
Blattformat A3 (Einheit 1.5 cm) zu verwenden.
Zum Ablauf der Konstruktion:
Beginn mit den angegebenen Daten.
Konstruktion der Bildpunkte A´, B´…
Beispiel:
B´ findest Du so:
Die Gerade AB schneidet e im Punkt G.
Durch G läuft die Gerade A´B´,
parallel zur Geraden ZH (wie Zürich), wobei
H der Schnittpunkt von AB mit der Gegenachse v ist.
A´und B´ erhalten wir durch Einschneiden
mit Kolllineationsstrahelen.
Wir merken uns:
Eine zentrische Kollineation ist u.a. gegeben
durch das Zentrum Z,die Achse e und die Gegenachse v.
Abgekürztes Verfahren:
Wenn man drei gestrichene Punkte A´, B´, C´, D´,E´ hat,
legt man durch sie den Kreis k´, der zum KS k kollinear ist.
Den Mittelpunkt der Hyperbel erhält man als Bild des
Pols der Gegenachse v bezüglich des Kreises k´.
Besser läuft meines Erachtens die Konstruktion
bei der vorhergehenden Aufgabe LF 443.
Hauptsache: wir kennen die theoretischen Grundlagen.
Desto schlimmer für die Tatsachen auf dem Zeichenblatt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4268
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Juli, 2004 - 11:41: |
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Hi allerseits
Die Aufgabe ist eindeutig lösbar!
Rechnerisch ergeben sich die folgenden Resultate:
Gleichung der Hyperbel:
- 1380 x^2 + 929 x y + 602 y^2 - 1393 x - 1805 y + 3047 = 0
Koordinaten x,y des Mittelpunktes M als Lösungspaar des linearen
Gleichungssystems
2760 x – 929 y + 1393 = 0
929 x + 1204 y - 1805 = 0
Näherungswerte:
xM ~ - 1,8 * 10^-5
yM ~ 1,4992
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4269
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Juli, 2004 - 15:19: |
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Hi allerseits
Mitten in der Sommerflaute wollen wir die Gleichung der durch die
fünf Punkte A(1/1),B(-1/2),C(-3/-1),D(4/5),E(2/-3) gegebenen Hyperbel
mittels einer sechsreihigen Determinante berechnen.
Die Gleichung der Hyperbel entsteht durch Nullsetzen der Determinante
der folgenden quadratischen (6,6)-Matrix:
K:=matrix([[x^2,2*x*y,y^2,2*x,2*y,1],[1,2,1,2,2,1],[1,-4,4,-2,4,1],
[9,6,1,-6, -2,1],[16,40,25,8,10,1],[4,-12,9,4,-6,1]]);
det(K)
= 44160 x^2 - 29728 x y – 19264 y^2 + 44576 x + 57760 y - 97504 = 0
Man dividiere beiderseits durch 32; es kommt:
1380 x^2 – 929 x y – 602 y^2 + 1393 x + 1805 y - 3047 = 0
Diese Gleichung ist täuschend ähnlich zu einer früher
angeschriebenen Gleichung !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1512
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Juli, 2004 - 21:29: |
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Hi megamath,
wenn ich mal so dreist fragen darf:
Wie kommst du zu der Matrix? Da erkenne ich fast gar nichts! Die erste Zeile macht ja noch Sinn, aber der Rest...
Das war ja bestimmt keine Zauberei...
mfg |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4272
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Juli, 2004 - 07:38: |
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Hi Ferdi
Da es sich um keine Zauberei handelt, werde ich das Geheimnis lüften.
Die erste Zeile ist die Leitzeile und durchschaubar, d.h .evident.
Setzt man nun der Reihe nach in dieser Zeile die (x,y)-Werte der fünf
gegebenen Punkte ein, so erhält man für die Elemente der
zweiten, dritten…., sechsten Zeile die angegebenen numerischen Werte.
Man sieht leicht ein, dass bei der so erhaltenen Determinante,
die man null setzt, beim Einsetzen der Koordinaten in die erste
Zeile die Gleichung befriedigt wird, weil je zwei Zeilen der Determinante
dann identisch sind.
Diese nützliche Formel wird in der Literatur sporadisch hergeleitet.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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