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Lockere Folge 442 : Konstruktion eine...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Geometrie » Lockere Folge 442 : Konstruktion eines KS aus drei Tangenten und zwei Punkten « Zurück Vor »

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4259
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 09. Juli, 2004 - 09:47:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Die Aufgabe LF 442 ist die zur Aufgabe LF 441
duale Aufgabe; sie lautet:

Man ermittle einen Kegelschnitt (KS) aus drei Tangenten
a,b,c
und zwei Punkten G und H.

Man konstruiere die Tangenten g und h in G und H.

Daten:

a durch (-5/0) und (0/-1)
b durch (0/5) und (1/0)
c durch (-3,5 / 4,5) und (2/1)
G(-2/-1), H(0/5)

Hinweis zur Lösung

Man suche eine passende Zentralkollineation zwischen
dem gesuchten KS k und einem zu ermittelnden Kreis k´,
indem man das entsprechende Verfahren aus der Aufgabe
LF 441 mit Hilfe des Dualitätsprinzips auf die neue
Situation überträgt.
Wie ist im Einzelnen vorzugehen?

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath



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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1503
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 09. Juli, 2004 - 16:28:   Beitrag drucken

Hi megamath,

also es ist doch ungewöhnlich so umzudenken, wenn man es nicht gewohnt ist:

Hier erst mal ein Anfang:

Die Verbindungsgerade der Punkte G und H bildet die Kollineationsachse. Dann gilt G' = G und H' = H! Ich denke k' muss dann so gewählt werde das der Kreis durch G und H läuft.

Der Rest ist für mich dann nicht mehr so einfach zu dualisieren. Es geht jetzt darum das Zentrum Z zu finden. Man muss dazu denke ich die Geraden a' , b' und c' finden, aber irgendwie sehe ich nicht wie. Ich habe auch schon den Satz von Desargues versucht, aber der bringt mich auch nicht weiter!

Stimmt das soweit? Ich hoffe, dann könntest du, einen kleinen Hinweis geben, damit es vorrangeht...

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4260
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 09. Juli, 2004 - 19:55:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Dein Einstieg ist richtig!
Die Gerade GH ist die Kollineatonsachse e.
Der zum KS k kollineare Kreis k´ geht durch G und H ;
der Radius ist frei wählbar.

Die Tangente a schneidet e in J; lege durch J eine der beiden
Kreistangenten und bezeichne sie mit a´.

Verfahre analog mit b --->>> b´,
b und b´ schneiden sich auf e.

Verfahre analog mit c --->>> c´,
c und c´ schneiden sich auf e.

alpha)

Die Verbindungsgerade der Schnittpunkte
der Geraden a, b und diejenige der Geraden a´,b´
geht durch das Kollineationszentrum Z.

beta)

Die Verbindungsgerade der Schnittpunkte
der Geraden b,c und der Geraden b´,c´
geht durch das Kollineationszentrum Z.

gamma)

Die Verbindungsgerade der Schnittpunkte
der Geraden c,a und der Geraden a´,b´
geht durch das Kollineationszentrum Z.

Damit ist die perspektive Kollineation etabliert.

PS.
Die Abschnitte alpha, beta, gamma lassen sich Wort für Wort
dualisieren, und man ist wieder bei der vorhergehenden Aufgabe!

MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1506
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 10:56:   Beitrag drucken

Hi megamath,

in meiner Skizze tat sich heute morgen ein neues Problem auf! Egal wie ich den Kreis durch G und H wähle, der Schnittpunkt von e und c liegt innerhalb des Kreises!

Wie sollen die Tangenten gezeichnet werden, da die Polare, dann ja den Kreis meidet?

Die Geraden a' und b' schneiden sich bei ~ (-2,3/5) und a und b bei ~ (1,3/-1,3). Nun felt jedoch die Tangente zum Schnittpunkt von e und c ~ (1/3)!

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4264
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juli, 2004 - 08:59:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Dasselbe ist mir auch schon passiert!

Wir umsegeln hier dieses Problem, indem wir H neu
festlegen:
es soll H(0/-5) gelten! Sorry.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1509
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juli, 2004 - 13:06:   Beitrag drucken

Hi megamath,

jetzt hat alles geklappt!

Hier meine Skiize:

KSkons.jpg

Man erkennt Z ~ ( -2,2 / -2,7 )!

Man kann nun dualisieren mit LF441: man schneide die Tangente in G g' mit a', dann verbinde man den Schnittpunkt mit Z, diese Gerade schneidet a in einem Punkt S, man verbinde S und G, und man erhält g!

So müssts klappen!

Jetzt schaue ich erstmal Formel 1, danach beschäftige ich mich mit der neuen Aufgabe!

mfg

(Beitrag nachträglich am 11., Juli. 2004 von tl198 editiert)

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