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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4250
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Juli, 2004 - 11:13: | 
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Hi allerseits
Mit der Aufgabe LF 440 erscheint eine Reminiszenz.
Die Aufgabe ist identisch mit einer vor 50 Jahren gestellten
Maturitätsprüfungsaufgabe an einer renommierten
Oberrealschule der Schweiz.
Die Aufgabe lautet wörtlich:
Gegeben werden die festen Punkte A(6/0) und B(t/0)
Auf dem Kreis durch A mit Zentrum im Nullpunkt O
läuft der Punkt P1.
Die Normale durch P1 auf die Kreistangente in A schneidet
diese im Punkt Q.
Gesucht wird der geometrische Ort des Schnittpunktes P der
Verbindungsgeraden OP1 und BQ.
a) Bestimme die Gleichung der Ortskurve
b) Gib alle t-Werte an für die Bedingung
1) die Ortskurve ist eine Ellipse
2) die Ortskurve ist eine Parabel
3) die Ortskurve ist eine Hyperbel
4) die Ortskurve ist eine Normalhyperbel
c) Zeichne die Kurven für die Werte t = - 6 , t = 4, t = 12.
d) Untersuche die Spezialfälle: t strebt gegen 0, t strebt gegen 6
t strebt ad infinitum.
Viel Erfolg
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1496
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Juli, 2004 - 15:25: |
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Hi megamath,
lautet die gesuchte Kurvenschar:
x^2 + y^2 = {[6*(x-t)] / (6-t)}^2
Wenn ja, dann folgt der Rest später, wenn nicht, muss ich mich nochmal bemühen...
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4251
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Juli, 2004 - 17:05: |
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Hi Ferdi
Bravo!
Dein Zwischenresultat ist richtig;
go on!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1497
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Juli, 2004 - 17:58: |
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Hi,
erstmal meine Lösung:
P1(u/v), Tangente in A : x = 6 , Normale durch P1 : y = v --> Q ( 6 / v )
Dann berechnet man den Schnittpunkt:
P ( tu/(u - 6 + t) | tv/(u - 6 + t) )
Es gilt also für P:
x^2 + y^2 = 36t^2 / (u - 6 + t)^2
Aus x = tu/(u - 6 + t) berechnet man:
(u - 6 + t) = t(6 - t)/(x-t)
Also:
x^2 + y^2 = 36/(6-t)^2 * (x-t)^2
Löst man diese Gleichung nun ein wenig auf, sieht man folgendes:
(t^2 - 12t)*x^2 + 72xt + (6-t)^2*y^2 = 36t^2
Der Faktor vor y^2 ist immer >=0 , daher untersuchen wir:
t^2 -12t > = < 0
a) t^2 - 12t < 0
==> Ist 0 < t < 12 [t ungleich 6] so entsteht eine Hyperbel!
b) t^2 - 12t > 0
==> Ist 0 > t > 12 so entsteht eine Ellipse!
c) t^2 - 12t = 0
==> Ist t = 12 so entsteht eine Parabel (t=0 Spezialfall)
d) t^2 - 12t = -(6-t)^2
==> Ist t = 6 +- sqrt(18) so entsteht eine Normalhyperbel
Betrachtet man nun:
(t^2 - 12t)*x^2 + 72xt + (6-t)^2*y^2 = 36t^2
a) t -> 0
==> y = 0 ...Die x-Achse
b) t -> 6
==> x^2 - 12x + 36 = 0
==> (x-6) = 0
==> x = 6 ...eine Parallele zur y-Achse
Nun dividieren wir den Term durch t^2, dann:
c) t-> inf
==>x^2 + y^2 = 36 ...der Ausgangskreis
Hier noch die Skizze:
Ellipse : t = -6 , Hyperbel : t = 4 , Parabel : t = 12
Ein Glück das wir die alten Aufgaben auch heute noch lösen können!
mfg
(Beitrag nachträglich am 06., Juli. 2004 von tl198 editiert) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4252
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Juli, 2004 - 20:28: |
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Hi Ferdi
Ich habe dieselben Resultate ;
Ausnahme: Ellipsen erscheinen für....?
Besten Dank für die vorzügliche Lösung,inklusive die saubere Zeichnung.
MfG
H.R.Moser,megaamth |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1498
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Juli, 2004 - 21:13: |
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Hi megamath,
ich kann meinen Fehler nicht finden:
t^2 - 12t > 0
Also entweder t < 0 oder t > 12 !
Oder sollte ich sagen ausgenommen t -> inf, da dann der Kreis entsteht...
Naja, jetzt muss ich auch los, da ich jetzt endlich Arbeit gefunden habe, und morgen früh los muss. Der Mensch lebt ja nicht nur von Mathematik allein ...
mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4254
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Juli, 2004 - 17:18: |
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Hi Ferdi
Zitat: „==> Ist 0 > t > 12 so entsteht eine Ellipse!“
ist zu kurzatmig angeschrieben, weil daraus,
leicht irreführend, 0 > 12 folgen würde!
Hingegen:
t * (t – 12) > 0 gibt Ellipsen, das ist richtig!
Besten Dank für Deine Bemühungen!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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