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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4246
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Juli, 2004 - 09:00: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 439.
Gegeben seien die Punkte O(0/0), B(6/0) und A(a/0)
mit 0 < a < 6.
Einem beliebigen Punkt P(x/y) wird der Punkt P´(x´/y´)
wie folgt zugeordnet:
Die Parallele durch P zur x-Achse schneidet die Parallele
zur y-Achse durch B in Q.
Die Geraden OP und AQ schneiden sich in P´.
Man zeige, dass diese Zuordnung eine zentrale Kollineation
ist und bestimme deren Zentrum Z und deren Achse e.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1494
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Juli, 2004 - 17:18: |
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Hi megamath,
sei P(r/s) , dann gilt:
Q ( 6 / s )
OP : y = s/r*x
AQ : y = mx - am mit m = s/(6-a)
Dann schneidet OP AQ in:
x = a * r / (r + a - 6)
y = a * s / (r + a - 6)
Oder:
x' = ax / (x + a - 6)
y' = ay / (x + a - 6)
Durch x'=x und y'=y folgt:
Z(0/0) und e: x = 6
Man sieht das die Achse und das Zentrum Z unabhängig von der Wahl von a sind!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4247
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Juli, 2004 - 19:35: |
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Hi Ferdi
Deine Berechnungen sind richtig!
Bald kommt noch eine Zusatzaufgabe.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4248
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Juli, 2004 - 20:01: |
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Hi allerseits
Die angekündigte Zusatzaufgabe zur Aufgabe LF 439
lautet.
Man bestimme für die oben hergeleitete zentralkollineare Abbildung
x' = ax / (x + a - 6)
y' = ay / (x + a - 6)
die Gleichungen der Inversen.
Diese Gleichungen liefern sofort die zweite Gegenachse u´,
auf der alle Punkte des (x´,y´) - Feldes liegen, deren
Originale (x,y) unendlich fern sind.
Man überprüfe an Hand dieses Beispiels die Gültigkeit des
bemerkenswerten Satzes:
Der Abstand des Kollineationszentrums von der einen Gegenachse
ist entgegengesetzt gleich dem Abstand der Kollineationsachse
von der andern Gegenachse.
Entweder liegen Zentrum und Kollineationsachse zwischen
den beiden Gegenachsen oder umgekehrt:
die beiden Gegenachsen liegen zwischen Zentrum und
Kollineationsachse.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1495
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Juli, 2004 - 20:35: |
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Hi megamath,
das machen wir gerne:
x = (a-6)*x / ( a - x')
y = (a-6)*y / ( a - x')
Daraus folgt u' : x' = a.
Es gilt u : x = 6 - a
Worraus die Behauptung folgt:
In diesem Fall liegen die Gegenachsen zwischen Z und e! Ihre Abstände sind d = a und d = -a.
Eine Skizze mit a = 2 hat mir dann völlig die Augen geöffnet!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4249
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Juli, 2004 - 09:08: |
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Hi Ferdi
Dein Resultat ist richtig!
Das Beispiel ist recht instruktiv; mit der Zeit durchschaut man
alles, auch mit geschlossenen Augen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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