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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4237
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Juli, 2004 - 11:13: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 436.
Für die hier involvierte zentralkollineare Abbildung.
sind wiederum die Abbildungsgleichungen vorgegeben.
Die Aufgabe lautet:
P(x/y) ist Originalpunkt, P´(x´/y´) der zugehörige Bildpunkt.
Die Abbildungsgleichungen einer zentrischen Kollineation
lauten:
x´= 6 x / (x+3)
y´= 6 y / (x+3)
a) Wie lauten die Gleichungen der Umkehrabbildung?
b) Man berechne die Koordinaten des Kollineationszentrums Z
und ermittle eine Gleichung der Kollineationsachse e.
c) Der Kreis k mit der Gleichung (x-1)^2 + y^2 = r^2
soll in eine Normalhyperbel übergehen.
Man berechne den Radius r von k.
d) Man ermittle den Mittelpunkt und die Asymptoten
der Hyperbel sowohl rechnerisch als auch konstruktiv.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4238
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Juli, 2004 - 14:03: |
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Hi allerseits
Eine Korrektur:
Die neue Aufgabe trägt die Nummer 436, nicht 346
Eine kleine Hilfe:
Man verwende wiederum die Gegenachse v
mit dem Kollineationsszentrum Z, damit r
sofort bestimmt werden kann.
Die Asymptoten müssen aufeinander senkrecht stehen,
ihr Zwischenwinkel ist 2*45°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1487
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Juli, 2004 - 16:41: |
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Hi megamath,
hier meine Rechnung:
x' = 6x/(x+3)
y' = 6y/(x+3)
==>
x = 3x'/(6-x')
y = 3y'/(6-x')
Setze ich x' = x und y' = y , so erhahlte ich das Zentrum Z (0/0) und Achse e: x = 3!
Setze ich für x und y die Abbildunggleichungen ein und vereinfache:
(16-r^2)x'^2 - (48 - 12r^2)x' + 9y'^2 + 36(1-r^2) = 0
Es soll eine Normalhyperbel entstehen, also müssen die Koeffizienten vor x'^2 bzw y'^2 entgegengesetzt gleich sein:
9 = -(16 - r^2) ==> r = 5
(x-1)^2 + y^2 = 25
Der Kreis schneidet die Gegenachse x = 3 in zwei Punkten, also entsteht bei der Kollineation eine Hyperbel:
(x' - 14)^2 - y'^2 = 100
Eine Normalhyperbel mit den Halbachsen a = b = 10
und dem Mittelpunkt M(14 / 0)! Die Asymptoten lauten:
y = x - 14
y = -x + 14
Wir überprüfen nun noch: Der Pol P der Gegenachse in Bezug auf k muss bei der Kollineation in M übergehen:
x = -3 ==> P = (-21/4 | 0)
Setzen wir die in die Abbildungsgleichungen ein:
x' = 14 , y' = 0! Juhu!
Die Konstruktion kommt später!
mfg |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1488
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Juli, 2004 - 17:03: |
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Hi megamath,
hier die Konstruktion:
Man schneide den Kreis mit der Gegenachse v, man erhält die Punkte U und V, sie sind die unendlichen fernen Berührpunkte der Asymptoten!
U(-3/3), V(-3/-3)
Nun lege man in diesen Punkten die Tangenten tU und tV, deren Bilder werden dann die Asymptoten!
Diese Tangenten schneiden die Achse e in:
tU: S1 (3/11) , tV: S2 (3/-11)
Nun legen wir in diesen Punkten die Geraden mit der Steigung ZU und ZV!
ZU = m1 = -1
ZV = m2 = 1
Wir haben die Asymptoten, diese schneiden sich im Mittelpunkt der Hyperbel: M(14/0)!
Wir sehen m1*m2 = -1! Eine Normalhyperbel. Alles wie gehabt!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4239
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Juli, 2004 - 17:41: |
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Hi Ferdi
Sowohl die Berechnung als auch die Konstruktion
sind richtig.
Ein zweifaches Bravo!
MfG
H.R.Moser,megamath |
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